逻辑斯谛映射

逻辑映射是 2 次多项式映射（等效地，递归关系），通常被称为一个原型示例，说明非常简单的非线性动力学方程可以产生多么复杂、混沌的行为。 该地图在生物学家罗伯特·梅 (Robert May) 1976 年的一篇论文中得到推广，部分原因是作为离散时间人口统计模型，类似于皮埃尔·弗朗索瓦·维赫斯特 (Pierre François Verhulst) 写下的逻辑方程。在数学上，逻辑地图被写成

(1)

其中 xn 是一个介于 0 和 1 之间的数字，表示现有人口与xxx可能人口的比率。 这个非线性差分方程旨在捕捉两个影响：

• 当种群规模较小时，种群将以与当前种群成正比的速度增长。
• 饥饿（密度依赖性死亡率），其中增长率下降的速度与环境的理论承载能力减去当前人口所获得的值成正比。

参数 r 通常感兴趣的值是区间 [0, 4] 中的值，因此 xn 保持在 [0, 1] 范围内。 逻辑映射的 r = 4 情况是位移图和帐篷映射的 μ = 2 情况的非线性变换。 如果 r > 4 这导致负人口规模。 （这个问题没有出现在旧的 Ricker 模型中，它也表现出混沌动力学。）我们还可以考虑区间 [−2, 0] 中的 r 值，以便 xn 保持在 [−0.5, 1.5] 范围内。

下图显示了一些逻辑图迭代的幅度和频率内容，参数值范围从 2 到 4。

通过改变参数 r，观察到以下行为：

• r 在 0 和 1 之间时，种群最终会死亡，与初始种群无关。
• r 在 1 和 2 之间时，种群将很快接近 r − 1/r 的值，与初始种群无关。
• 当 r 在 2 和 3 之间时，种群最终也会接近相同的值 r − 1/r，但首先会围绕该值波动一段时间。 收敛速度是线性的，除了 r = 3，当它非常慢，低于线性时（见分岔记忆）。
• 当 r 在 3 和 1 + √6 ≈ 3.44949 之间时，总体将在两个值之间xxx振荡。 这两个值取决于 r 并由 x ± = 1 2 r ( r + 1 ± ( r − 3 ) ( r + 1 ) ) {displaystyle x_{pm }={frac {1} {2r}}left(r+1pm {sqrt {(r-3)(r+1)}}right)} .
• 当 r 介于 3.44949 和 3.54409（近似值）之间时，从几乎所有的初始条件来看，人口将接近四个值之间的xxx振荡。 后一个数字是 12 次多项式的根（OEIS 中的序列 A086181）。
• 随着 r 增加超过 3.54409，从几乎所有的初始条件来看，人口将接近 8 个值之间的振荡，然后是 16、32 等。产生给定长度振荡的参数区间的长度迅速减少； 两个连续分叉区间的长度之比接近 Feigenbaum 常数 δ ≈ 4.66920。 这种行为是倍周期级联的一个例子。
• 在 r ≈ 3.56995（OEIS 中的序列 A098587）处是混沌的开始，处于倍周期级联的末尾。 从几乎所有的初始条件，我们不再看到有限周期的振荡。 随着时间的推移，初始种群的微小变化会产生截然不同的结果，这是混沌的主要特征。

• 大多数超过 3.56995 的 r 值都表现出混沌行为，但仍有某些孤立的 r 范围表现出非混沌行为； 这些有时被称为稳定岛。 例如，从 1 + √8（大约 3.82843）开始，参数 r 的范围显示在三个值之间振荡，对于略高的 r 值，在 6 个值之间振荡，然后是 12，等等。
• 当参数 r 从大约 3.56995 变化到大约 3.82843 时，逻辑序列的混沌行为的发展有时被称为 Pomeau-Manneville 情景，其特征是周期性（层流）阶段被非周期性行为的爆发打断。 这种场景在半导体设备中有应用。 还有其他范围会在 5 个值等之间产生振荡； 对于某些 r 值，所有振荡周期都会发生。 参数为 c 的倍周期窗口是由一系列子范围组成的 r 值范围。 第 k 个子范围包含 r 的值，其中存在周期为 2kc 的稳定循环（吸引一组单位测量初始点的循环）。 这个子范围序列称为级联谐波。 在一个周期为2k*c的稳定周期的子区间内，对于所有的k＜1，都存在周期为2kc的不稳定周期。