量化 (信号处理)

量化，在数学和数字信号处理中，是将一个大集合（通常是一个连续集合）中的输入值映射到一个（可数的）较小集合中的输出值的过程，通常有有限的元素数量。舍入和截断是量化过程的典型例子。量化在某种程度上涉及几乎所有的数字信号处理，因为以数字形式表示信号的过程通常涉及四舍五入。量化也构成了基本上所有有损压缩算法的核心。

输入值和其量化值之间的差异（如舍入误差）被称为量化误差。一个执行量化的设备或算法功能被称为量化器。模数转换器是量化器的一个例子。

例如，将一个实数x {displaystyle x}四舍五入到最接近的整数值，形成一个非常基本的量化器类型–均匀的量化器。一个典型的（mid-tread）均匀量化器的量化步长等于某个值Δ {displaystyle Delta }可以表示为

Q ( x ) = Δ ⋅ ⌊ x Δ + 1 2 ⌋ {displaystyle Q(x)=Deltacdotleftlfloor {frac {x}{Delta }+{frac {1}{2}}rightrfloor },

其中符号⌊ ⌋ {displaystylelfloorrfloor } 表示底层函数。

量化器的基本属性是有一个可能的输出值成员的可数集，小于可能的输入值集。输出值集的成员可以有整数、有理或实数。对于简单的四舍五入到最近的整数，步长Δ {displaystyleDelta }等于1。Δ = 1 {displaystyle Delta =1}或Δ {displaystyle Delta }等于任何其他整数值，这个量化器有实值输入和整数值输出。

当量化步长（Δ）相对于被量化的信号的变化较小时，比较简单地表明，这种舍入操作产生的平均平方误差大约为Δ 2 / 12 {2}/12}。平均平方误差也被称为量化噪声功率。在量化器上增加一个比特，会使Δ的值减半，从而使噪声功率减少1/4的系数。以分贝为单位，噪声功率的变化是10 ⋅ log 10 ( 1 / 4 ) ≈ – 6 d B 。{fnTahomafs10bord0shad01cH00FFFF}{displaystylescriptstyle 10cdotlog _{10}(1/4)approx -6mathrm {dB}. }。

因为量化器的可能输出值的集合是可数的，任何量化器都可以分解成两个不同的阶段，可以称为分类阶段（或正向量化阶段）和重建阶段（或逆向量化阶段），其中分类阶段将输入值映射到一个整数量化指数k {displaystyle k}，重建阶段将指数k {displaystyle k}映射到重建值y k {displaystyle y_{k}}，这是输入值的输出逼近。对于上述的均匀量化器的例子，前向量化阶段可以表示为

这种分解对于量化行为的设计和分析非常有用，它说明了量化后的数据如何通过通信信道进行通信–源编码器可以执行前向量化阶段，并通过通信信道发送索引信息，而解码器可以执行重建阶段，产生原始输入数据的输出近似值。一般来说，正向量化阶段可以使用任何将输入数据映射到量化索引数据的整数空间的函数，而逆向量化阶段在概念上（或字面上）可以是一个查表操作，将每个量化索引映射到相应的重建值。这种两阶段的分解同样适用于矢量和标量量化器。

由于量化是一种多对少的映射，它是一个固有的非线性和不可逆的过程（即，由于同一输出值由多个输入值共享，一般来说，当只给出输出值时，不可能恢复确切的输入值）。

可能的输入值的集合可能是无限大的，也可能是连续的，因此是不可计数的（如所有实数的集合，或某些有限范围内的所有实数）。可能的输出值集可能是有限的或可数的无限的。量化中涉及的输入和输出集可以用一种相当普遍的方式来定义。例如，矢量量化是对多维（矢量值）输入数据的量化应用。