位形空间

在经典力学中，定义系统构型的参数称为广义坐标，由这些坐标定义的空间称为物理系统的构型空间。 通常情况下，这些参数满足数学约束，因此系统的实际配置集是广义坐标空间中的流形。 这个流形称为系统的配置流形。 请注意，这是一个不受限制的配置空间的概念，即不同的点粒子可以占据相同的位置。 在数学中，特别是在拓扑学中，最常使用的是受限构型空间的概念，其中代表碰撞粒子的对角线被移除。

单个粒子在普通欧几里德 3 维空间中移动的位置由向量 q = ( x , y , z ) {displaystyle q=(x,y,z)} 定义，因此其配置空间为 Q = R 3 {displaystyle Q=mathbb {R} {3}} 。 通常使用符号 q {displaystyle q} 表示配置空间中的一个点； 这是经典力学的哈密顿公式和拉格朗日力学中的惯例。 符号 p {displaystyle p} 用来表示动量； 符号 q ˙ = d q / d t {displaystyle {dot {q}}=dq/dt} 指的是速度。

一个粒子可能被限制在一个特定的流形上移动。 例如，如果粒子连接到一个刚性连杆上，可以绕原点自由摆动，它就被有效地约束在一个球体上。 它的配置空间是 R 3 {displaystyle mathbb {R} {3}} 中定义球体 S 2 {displaystyle S{2}} 上的点的坐标子集。 在这种情况下，可以说流形 Q {displaystyle Q} 是球体，即 Q = S 2 {displaystyle Q=S{2}} 。

对于 n 个断开连接、非相互作用的点粒子，配置空间为 R 3 n {displaystyle mathbb {R} {3n}} 。 然而，一般来说，人们对粒子相互作用的情况感兴趣：例如，它们是齿轮、滑轮、滚球等某些组件中的特定位置，通常被迫移动而不会滑动。 在这种情况下，配置空间不是所有的 R 3 n {displaystyle mathbb {R} {3n}} ，而是点可以占据的允许位置的子空间（子流形）。

在三维空间中定义参考点位置的坐标系和附在刚体上的坐标系的方向形成了它的配置空间，通常表示为 R 3 × S O ( 3 ) {displaystyle mathbb {R} {3}times mathrm {SO} (3)} 其中 R 3 {displaystyle mathbb {R} {3}} 表示附在身体上的框架的原点坐标， 和 S O ( 3 ) {displaystyle mathrm {SO} (3)} 表示定义此框架相对于地面框架的方向的旋转矩阵。 刚体的配置由六个参数定义，三个来自 R 3 {displaystyle mathbb {R} {3}} 和三个来自 S O ( 3 ) {displaystyle mathrm {SO} (3) } ，据说有六个自由度。

在这种情况下，配置空间 Q = R 3 × S O ( 3 ) {displaystyle Q=mathbb {R} {3}times mathrm {SO} (3)} 是六维的，并且 一个点 q ∈ Q {displaystyle qin Q} 只是那个空间中的一个点。 q {displaystyle q} 在配置空间中的位置使用广义坐标来描述； 因此，三个坐标可能描述刚体质心的位置，而另外三个可能是描述其方向的欧拉角。 没有标准的坐标选择； 也可以选择刚体的某个尖端或端点，而不是其质心； 人们可能会选择使用四元数而不是欧拉角，等等。 但是，参数化不会改变系统的机械特性； 所有不同的参数化最终都描述了相同的（六维）流形，相同的一组可能的位置和方向。

一些参数化比其他参数化更容易使用，并且许多重要的陈述可以通过以无坐标的方式进行。 无坐标陈述的例子是切线空间 T Q {displaystyle TQ} 对应于点的速度 q ∈ Q {displaystyle qin Q} ，而余切空间 T ∗ Q {displaystyle T{*}Q} 对应于动量。 （速度和动量可以联系起来；对于最一般、最抽象的情况，这是通过重言式单形式的相当抽象的概念来完成的。）

对于由许多刚性连杆组成的机械臂，配置空间包括每个连杆的位置（如上一节所示，被视为刚体），受连杆如何相互连接的约束。