四维电流密度

在狭义和广义相对论中，四电流（技术上称为四电流密度）是电流密度的四维模拟。也称为矢量电流，它用于四维时空的几何上下文，而不是单独的三维空间和时间。在数学上它是一个四向量，并且是洛伦兹协变的。

类似地，可以具有任何形式的电流密度，这意味着每单位时间每单位面积的流量。有关此数量的更多信息，请参见电流密度。

本文使用索引的求和约定。有关升高和降低指数的背景，请参阅向量的协方差和逆变，以及如何在它们之间切换的升高和降低指数。

使用度量签名 (+ − − −) 的 Minkowski 度量 η μ ν {\displaystyle \eta _{\mu \nu }}，四电流分量由下式给出：

J α = ( c ρ , j 1 , j 2 , j 3 ) = ( c ρ , j ) {\displaystyle J{\alpha }=\left(c\rho ,j{1},j{ 2},j{3}\right)=\left(c\rho,\mathbf {j}\right)}

其中 c 是光速，ρ 是体积电荷密度，j 是常规电流密度。 虚拟索引 α 标记时空维度。

在狭义相对论中，电荷守恒的表述是 J 的洛伦兹不变散度为零：

∂ J α ∂ x α = ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 , {\displaystyle {\dfrac {\partial J{\alpha }}{\partial x{\alpha }}}= {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\,,}

其中 ∂ / ∂ x α {\displaystyle \partial /\partial x{\alpha }} 是四梯度。 这就是连续性方程。

在广义相对论中，连续性方程写为：

Jα； α = 0 , {\displaystyle J{\alpha }{}_{;\alpha }=0\,,}

其中分号表示协变导数。

四电流出现在麦克斯韦方程组的两个等效公式中，在满足洛伦兹规范条件时的四势方面：

◻ A α = μ 0 J α {\displaystyle \Box A{\alpha }=\mu _{0}J{\alpha }}

其中 ◻ {\displaystyle \Box } 是 D’Alembert 算子，或电磁场张量：

∇ β F α β = μ 0 J α {\displaystyle \nabla _{\beta }F{\alpha \beta }=\mu _{0}J{\alpha }}

其中 μ0 是自由空间的磁导率，∇β 是协变导数。

在广义相对论中，四电流被定义为电磁位移的散度，定义为

D μ ν = 1 μ 0 g μ α F α β g β ν − g {\displaystyle {\mathcal {D}}{\mu \nu }\,=\,{\frac { 1}{\mu _{0}}}\,g{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g{\beta \nu }\ ,{\sqrt {-g}}\,}

然后

J μ = ∂ ν D μ ν {\displaystyle J{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}{\mu \nu }}

四电流电荷密度是量子电动力学中使用的拉格朗日密度的重要组成部分。1956 年，Gershtein 和 Zeldovich 考虑了电弱相互作用的守恒矢量电流 (CVC) 假设。