双体模型

在几何学中，欧几里得平面中某个区域的多米诺骨牌拼贴是该区域由多米诺骨牌镶嵌而成，多米诺骨牌是由两个边对边相遇的单位正方形的联合形成的形状。 等价地，它是在区域的每个正方形中心放置一个顶点，当两个顶点对应于相邻正方形时连接起来形成的网格图中的完美匹配。

对于二维规则网格上的某些类别的平铺，可以定义一个高度函数，将一个整数与网格的顶点相关联。 例如，画一个棋盘，固定一个高度为0的节点A 0 {displaystyle A_{0}}，那么对于任何节点，都有一条从A 0 {displaystyle A_{0}}到它的路径。 在这条路径上定义每个节点的高度 A n + 1 {displaystyle A_{n+1}} （即正方形的角）为前一个节点的高度 A n {displaystyle A_{n}} 如果从 A n {displaystyle A_{n}} 到 A n + 1 {displaystyle A_{n+1}} 的路径右边的方块是黑色的，则加一，否则减一。

可以在 Kenyon & 中找到更多详细信息。 奥昆科夫 (2005)。

William Thurston (1990) 描述了一个测试，用于确定作为平面中单位正方形的并集形成的单连通区域是否具有多米诺瓷砖。 他构建了一个无向图，其顶点是三维整数格中的点 (x,y,z)，其中每个这样的点都连接到四个邻居：如果 x+y 是偶数，则 (x,y, z) 连接到 (x + 1,y,z + 1)、(x − 1,y,z + 1)、(x,y + 1,z − 1) 和 (x,y − 1,z − 1)，而如果 x + y 是奇数，则 (x,y,z) 连接到 (x + 1,y,z − 1), (x − 1,y,z − 1), (x, y + 1,z + 1) 和 (x,y − 1,z + 1)。 该区域的边界被视为 (x,y) 平面中的一系列整数点，xxx地提升（一旦选择了起始高度）到此三维图中的路径。 该区域可平铺的必要条件是该路径必须闭合以在三个维度上形成简单的闭合曲线，但是，此条件是不充分的。 通过对边界路径进行更仔细的分析，瑟斯顿给出了一个区域的可拼接性标准，该标准既充分又必要。

当 m 和 n 都是奇数时，公式正确地将可能的多米诺骨牌减少到零。

当用 n 个多米诺骨牌平铺 2 × n {displaystyle 2times n} 矩形时会出现一种特殊情况：该数列简化为斐波那契数列。

另一种特殊情况发生在 m = n = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, … 的正方形上

1, 2, 36, 6728, 12988816, 258584046368, 53060477521960000, …（OEIS 中的序列 A004003）。

这些数字可以通过将它们写成 m n × m n {displaystyle mntimes mn} 斜对称矩阵的普法夫矩阵来找到，其特征值可以明确地找到。 这种技术可以应用于许多与数学相关的学科，例如，在统计力学中二聚体-二聚体相关函数的经典二维计算中。

一个区域的瓦片数量对边界条件非常敏感，并且可以随着区域形状的明显变化而发生显着变化。 这通过 n 阶阿兹特克钻石的拼贴数来说明，其中拼贴数为 2(n + 1)n/2。 如果将其替换为中间有 3 行长行而不是 2 行的 n 阶增强阿兹特克菱形，则拼贴数将下降到小得多的数字 D(n,n)，这是一个 Delannoy 数，它只有指数而不是 n的超指数增长。 对于只有一个长中间排的 n 阶还原阿兹特克钻石，只有一个平铺。

• 4 阶阿兹特克钻石，有 1024 块多米诺骨牌
• 一种可能的平铺

榻榻米是多米诺骨牌（1×2 矩形）形状的日式地垫。 它们用于铺设房间，但有关于如何放置它们的附加规则。 特别是，通常三张榻榻米相交的交界处为吉祥，四张榻榻米相交的交界处则为不吉利，所以合适的榻榻米拼贴是在任何一个角落只有三张榻榻米相交的。 用榻榻米将一个不规则的房间平铺成三个角落的问题是 NP 完全问题。

周期性多米诺骨牌拼贴与全 fr 的基态配置之间存在一对一的对应关系。