比哈姆-米德尔顿-莱文交通流量模型

比哈姆-米德尔顿-莱文交通流量模型是一种自组织元胞自动机交通流模型。 它由许多汽车组成，这些汽车由具有随机起始位置的格子上的点表示，其中每辆汽车可能是两种类型之一：仅向下移动的汽车（本文中显示为蓝色）和仅向 右（本文中显示为红色）。 两种车轮流行驶。 在每一轮中，如果没有被另一辆汽车阻挡，则相应类型的所有汽车前进一步。 它可以被认为是更简单的 Rule 184 模型的二维模拟。 它可能是表现出相变和自组织的最简单的系统。

比哈姆-米德尔顿-莱文交通流量模型最早由 Ofer Biham、A. Alan Middleton 和 Dov Levine 于 1992 年制定。Biham 等人发现，随着交通密度的增加，稳态流量 交通突然从顺畅变成完全堵塞。 2005 年，Raissa D’Souza 发现对于某些交通密度，存在一个中间阶段，其特征是周期性安排拥堵和畅通。 同年，Angel、Holroyd 和 Martin 率先严格证明，当密度接近 1 时，系统总是会堵塞。 后来，在 2006 年，Tim Austin 和 Itai Benjamini 发现，对于 N 边的正方形格子，如果车辆少于 N/2，模型将始终自组织以达到全速。

汽车通常放置在拓扑上等同于环面的方形格子上：也就是说，离开右边缘的汽车将重新出现在左边缘； 离开底部边缘的汽车将重新出现在顶部边缘。

也有对矩形格子而不是方形格子的研究。 对于具有互质尺寸的矩形，中间状态是自组织的堵塞带和具有详细几何结构的自由流动，它们会及时重复。 在非互质矩形中，中间状态通常是无序的而不是周期性的。

尽管模型很简单，但它有两个高度可区分的阶段——阻塞阶段和自由流动阶段。 对于少量汽车，系统通常会自行组织以实现顺畅的交通。 相反，如果有大量汽车，系统将变得拥塞到没有一辆车移动的程度。 通常，在正方形格子中，过渡密度是指汽车数量大约是格子中可能空间数量的 32%。

尽管模型很简单，但严格的分析非常重要。 尽管如此，已经有关于比哈姆-米德尔顿-莱文通信量模型的数学证明。 到目前为止，证明仅限于交通密度的极端情况。 2005 年，亚历山大·霍尔罗伊德 (Alexander Holroyd) 等人证明，当密度足够接近一时，系统将不会有汽车无限频繁地移动。 2006 年，蒂姆·奥斯汀 (Tim Austin) 和伊泰·本杰米尼 (Itai Benjamini) 证明，如果汽车数量少于方形格子边长的一半，模型将始终达到自由流动阶段。

该模型通常在可定向环面上研究，但可以在克莱因瓶上实现晶格。 当红色汽车到达右边缘时，除了垂直翻转外，它们会重新出现在左边缘； 底部的现在位于顶部，反之亦然。 更正式地说，对于每个 y ∈ { 0 , … , N − 1 } {displaystyle yin lbrace 0,ldots ,N-1rbrace } ，一辆红色汽车离开站点 ( N − 1 , y ) {displaystyle (N-1,y)} 将进入站点 ( 0 , N − y − 1 ) {displaystyle (0,N-y-1)} 。 也可以在实投影平面上实现。

除了翻转红色汽车外，蓝色汽车也进行同样的操作：对于每个 x ∈ { 0 , … , N − 1 } {displaystyle xin lbrace 0,ldots ,N-1 rbrace } ，一辆蓝色汽车离开站点 ( x , N − 1 ) {displaystyle (x,N-1)} 将进入站点 ( N − x − 1 , 0 ) {displaystyle (N-x- 1,0)} 。

系统在克莱因瓶上的行为与在环面上的行为比在真实射影平面上的行为更相似。 对于 Klein 瓶设置，作为密度函数的移动性开始比环面情况下略微更快地下降，尽管密度大于暴击时的行为相似。