活动标架法

在数学中，移动坐标系是向量空间的有序基概念的灵活推广，通常用于研究嵌入齐次空间的光滑流形的外微分几何。

通俗地说，参考系是观察者用来通过提供坐标来测量周围空间的测量杆系统。 移动坐标系是一个参照系，它与观察者一起沿着轨迹（曲线）移动。 在这个简单的例子中，移动坐标系的方法试图从观察者的运动学特性中产生一个首选的移动坐标系。 在几何背景下，这个问题在 19 世纪中叶由 Jean Frédéric Frenet 和 Joseph Alfred Serret 解决了。 Frenet–Serret 框架是定义在曲线上的移动框架，可以纯粹根据曲线的速度和加速度构造。

Frenet–Serret 框架在曲线的微分几何中起着关键作用，最终导致欧几里德空间中平滑曲线的或多或少的完整分类直至全等。 Frenet–Serret 公式表明在曲线上定义了一对函数，即挠率和曲率，它们是对框架微分得到的，它们完整地描述了框架如何沿曲线随时间演化。 一般方法的一个关键特征是，如果可以找到首选的移动框架，则可以给出曲线的完整运动学描述。

在 19 世纪后期，Gaston Darboux 研究了在欧几里得空间的曲面上构造首选移动框架而不是曲线的问题，即 Darboux 框架（或当时称为 trièdre mobile）。 事实证明，构建这样一个框架一般是不可能的，而且首先需要满足可积性条件。

后来，Élie Cartan 等人在研究更一般的齐次空间（如射影空间）的子流形时广泛发展了移动标架。 在这种情况下，一个框架将向量空间的基础的几何概念带到其他类型的几何空间（克莱因几何）中。 框架的一些例子是：

• 线性框架是向量空间的有序基。
• 向量空间的正交坐标系是由正交单位向量（正交基）组成的有序基。
• 仿射空间的仿射框架由原点选择以及相关差分空间中的有序向量基组成。
• 仿射空间的欧几里德框架是原点的选择以及差分空间的正交基。
• n 维射影空间上的射影框架是空间中 n+1 个线性独立点的有序集合。
• 广义相对论中的框架场是四维框架，在德语中称为 vierbeins。

在这些示例中的每一个中，所有帧的集合在某种意义上都是同构的。 例如，在线性框架的情况下，任何两个框架都与一般线性群的一个元素相关。 投影框架由投影线性群相关。 框架类的这种同质性或对称性捕捉了线性、仿射、欧几里得或投影景观的几何特征。 在这些情况下，一个移动的框架就是：一个随点变化的框架。

形式上，齐次空间 G/H 上的框架由重言丛 G → G/H 中的一个点组成。 移动框架是该包的一部分。 它是移动的，因为随着基点的变化，纤维中的框架因对称群 G 的一个元素而改变。G/H 的子流形 M 上的移动框架是重言式回拉的一部分 束到 M。本质上，可以在流形上的主束 P 上定义一个移动框架。 在这种情况下，移动坐标系由 G 等变映射 φ : P → G 给出，因此通过李群 G 的元素来构建流形。

可以将框架的概念扩展到更一般的情况：可以将纤维束焊接到光滑的流形上，这样纤维的行为就好像它们是相切的。 当纤维束是均匀空间时，这减少到上述框架场。 当齐次空间是特殊正交群的商时，这就简化为 vierbein 的标准概念。

尽管外在运动框架和内在运动框架之间存在实质性的形式差异，但它们在运动框架总是通过映射到 G 中给出的意义上是相似的。Cartan 的移动框架方法中的策略，如简要概述 嘉当等价法，就是在流形上找到一个自然动标架，然后对其取达布导数，即把G的Maurer-Cartan形式拉回到M（或P），从而得到一个完整的集合 流形的结构不变量。