多重完全数

在数学中，乘法完美数（也称为多重完美数或倍完美数）是完美数的推广。

对于给定的自然数 k，当且仅当 n 的所有正约数之和（约数函数 σ(n)）等于 kn 时，数 n 才被称为 k-完美（或 k-fold perfect）； 因此，一个数是完美的当且仅当它是 2-完美的。 对于某个 k 是 k 完美的数称为乘法完美数。 截至 2014 年，k-perfect 数已知为每个 k 值高达 11。

120的除数之和是

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

即 3 × 120。因此 120 是 3-完美数。

下表概述了 k ≤ 11 的最小已知 k-完美数（OEIS 中的序列 A007539）：

可以证明：

• 对于给定的素数 p，如果 n 是 p-完美的并且 p 不整除 n，则 pn 是 (p+1)-完美的。 这意味着整数 n 是一个可被 2 整除但不能被 4 整除的 3-完美数，当且仅当 n/2 是一个奇数完美数时，其中没有一个是已知的。
• 如果 3n 是 4k-完美的并且 3 不整除 n，那么 n 是 3k-完美的。

未知是否存在除 1 以外的任何奇数乘法完美数。但是，如果存在奇数 k-完美数 n，其中 k > 1。 2、那么它必须满足以下条件：

• xxx质因数≥100129
• 第二大素数≥1009
• 第三大素数≥101

在小 o 表示法中，小于 x 的乘法完美数的数量是 o ( x ε ) {displaystyle o(x{varepsilon })} 对于所有 ε >; 0。

n ≤ x 的 k-完美数 n 的数量小于 c x c ′ log ⁡ log ⁡ log ⁡ x / log ⁡ log ⁡ x {displaystyle cx{c’log log log x/ log log x}} ，其中 c 和 c’ 是独立于 k 的常数。

在黎曼猜想的假设下，以下不等式对所有 k-完美数 n 都成立，其中 k > 1。

其中 γ {displaystyle gamma } 是欧拉伽马常数。 这可以使用罗宾定理来证明。

可以对酉完美数进行类似的扩展。 如果 σ*(n) = kn，其中 σ*(n) 是其酉因数之和，则正整数 n 称为酉多 k-完美数。 （如果 d 和 n/d 没有公因数，则数 n 的约数 d 是酉约数。）。

酉乘完美数就是某个正整数 k 的酉多 k 完美数。 等价地，酉乘法完美数是 n 除以 σ*(n) 的那些 n。 酉多2-完全数自然称为酉完全数。 在 k > 的情况下 2，到目前为止，还没有一个酉多 k 完美数的例子。 众所周知，如果存在这样一个数，它必须是偶数并且大于10102，并且必须有超过四十四个奇数质因数。