随机点的排列

当大量的随机点被标记在一个有界的平面上时，平面内随机点的排列可以通过统计学证明是反直觉的，很容易找到。这被认为是一种证明，即雷线和其他类似的神秘排列，被一些人认为是具有深刻意义的现象，可能仅仅是由于机会而存在，而不是其支持者提出的超自然或人类学的解释。

这个话题在计算机视觉和天文学领域也得到了研究。一些研究已经考察了平面上随机点的排列数学。在所有这些研究中，线的宽度–允许点的位置从一条完美的直线上移开–是很重要的。

它允许现实世界的特征不是数学上的点，而且它们的位置不需要完全一致就可以被认为是对齐的。

阿尔弗雷德-沃特金斯（AlfredWatkins）在他关于雷线的经典著作《古老的直道》中，将地图上铅笔线的宽度作为可能被视为对齐的公差的阈值。例如，用1毫米的铅笔线在1:50,000比例尺的地形测量图上画出走线，地面上的相应宽度为50米。

与直觉相反，随着要考虑的地理区域的增加，在景观上随机放置的点之间寻找排列逐渐变得容易。

理解这一现象的一种方法是，该地区各组点的可能组合数量的增加压倒了该地区任何给定的一组点排列的概率的减少。

一个表达了普遍接受的对齐含义的定义是。一组从给定的地标点中选择的点，它们都位于至少一条给定宽度的直线路径内更准确地说，宽度为w的路径可以定义为平面上的直线或球面上的大圆，或者一般来说任何其他类型流形上的测地线的距离为w/2以内的所有点的集合。

请注意，一般来说，任何给定的、以这种方式排列的点的集合将包含大量的、无限小的不同的直线路径。

因此，只有存在至少一条直线路径，才能确定一组点是否是排列组合。由于这个原因，计算点的集合比计算路径本身更容易。找到的排列组合的数量对允许的宽度w非常敏感，大约按比例增加到wk-2，其中k是一个排列组合中的点的数量。

下面是对排列的可能性的一个非常近似的数量级的估计，假设一个平面被均匀分布的重要点所覆盖。考虑在一个直径近似为L、面积近似为L2的紧凑区域中的一组n个点。

考虑一条有效的线是每一个点都在线的距离w/2之内（也就是说，位于宽度为w的轨道上，其中w≪L≫）。考虑来自n个点的所有无序的k点集合。

为了粗略估计任何给定的k点子集以上面定义的方式近似相邻的概率，考虑该集合中最左和最右两点之间的线（对于一些任意的左/右轴：我们可以选择顶部和底部的特殊垂直情况）。

根据定义，这两个点都在这条线上。对于剩下的k-2个点中的每一个，该点离直线足够近的概率大致为w/L，这可以通过考虑直线公差区的面积（大致为wL）和整体面积（大致为L2）的比率来看。

所以，根据这个定义，预期的k点排列的数量，非常粗略。除其他外，这可以用来证明，与直觉相反，在一个由给定密度的点覆盖的平面上，对于给定的线宽，预期的k点线的数量会随着考虑的区域的大小而增加，而不是线性增加，因为点的可能组合的数量的组合爆炸性增长超过了任何给定组合排队的难度的增加。

更加精确地表达随机放置在边长为L的正方形上的n个点中，最 大宽度w和最 大长度d的3点排列的数量。