最接近点法

最接近点法（CPM）是一种用于解决曲面上偏微分方程的嵌入方法。最接近点法使用标准的数值方法，如有限差分法、有限元法或频谱法，以解决嵌入的偏微分方程（PDE），该方程等同于表面上的原始PDE。为了提高计算效率，解决方案是在围绕表面的一个带状区域内计算的。为了将数据扩展到表面之外，最接近点方法使用最接近点表示。这种表示方法将函数值沿表面的法线方向扩展为常数。最接近点函数的定义。如果尚未给出，则构建一个曲面的最接近点表示。选择一个计算域。用R的标准梯度替换曲面的梯度。

解决方案的初始化是通过使用最接近的点函数将初始表面数据扩展到计算域上。初始化后，交替进行以下两个步骤。使用最接近的点函数，将解从表面扩展到计算域。在计算域的笛卡尔网格上计算一个时间步长的嵌入PDE的解。带入表面PDE被扩展为然而，只有在表面附近才需要解决这个新的PDE。

因此，我们在围绕表面的带状区域内求解PDE，以达到高效计算的目的。和四级内插多项式进行内插。二阶中心差分被用于空间离散化。CPM的结果是在解决方案中产生预期的二阶误差

最接近点法可以应用于各种表面上的PDEs。点云上的反应-扩散问题[RD]、特征值问题[EV]和水平集方程[LS]是几个例子。