三维空间的旋转表述

在几何学中，存在各种形式来将三维旋转表示为数学变换。 在物理学中，这个概念适用于经典力学，其中旋转（或角）运动学是对纯旋转运动进行定量描述的科学。 对象在给定时刻的方向使用相同的工具进行描述，因为它被定义为空间中参考位置的假想旋转，而不是实际观察到的先前空间位置的旋转。

根据欧拉旋转定理，刚体（或原点固定的三维坐标系）的旋转由绕某个轴的单个旋转来描述。 这样的旋转可以由至少三个实参数xxx地描述。 但是，由于各种原因，有几种表示方法。 许多这些表示使用的参数超过了必要的最少三个参数，尽管它们中的每一个仍然只有三个自由度。

使用旋转表示的一个例子是在计算机视觉中，其中自动观察者需要跟踪目标。 考虑一个刚体，三个正交单位向量固定在它的身体上（代表物体局部坐标系的三个轴）。 基本问题是指定这三个单位矢量的方向，因此刚体相对于观察者的坐标系被视为空间中的参考位置。

旋转形式主义专注于欧几里得空间的适当（保持方向）运动，其中有一个固定点，即旋转所指的。 尽管具有固定点的物理运动是一个重要的案例（例如在质心框架中描述的那些，或关节的运动），但这种方法创建了关于所有运动的知识。 欧氏空间的任何自行都分解为绕原点的旋转和平移。 无论它们的组合顺序如何，纯旋转分量都不会改变，由完整的运动xxx确定。

也可以将纯旋转理解为具有欧几里德结构的向量空间中的线性映射，而不是相应仿射空间的点映射。 换句话说，旋转形式主义仅捕获包含三个自由度的运动的旋转部分，而忽略包含另外三个自由度的平移部分。

在计算机中将旋转表示为数字时，有些人更喜欢四元数表示或轴+角度表示，因为它们避免了欧拉旋转可能发生的万向节锁定。

上述单位向量的三元组也称为基。 根据参考（非旋转）坐标轴，指定此基础的矢量在其当前（旋转）位置的坐标（分量）将完整地描述旋转。

hat {mathbf {w} }}} ，形成旋转基础，每个由 3 个坐标组成，总共产生 9 个参数。

这些参数可以写成一个 3×3 矩阵 A 的元素，称为旋转矩阵。

旋转矩阵的元素并不都是独立的——正如欧拉旋转定理所指出的，旋转矩阵只有三个自由度。

旋转矩阵具有以下属性：

• A 是实数正交矩阵，因此它的每一行或每一列代表一个单位向量。
• A的行列式为+1，等于其特征值的乘积。
• A的迹为1 + 2 cos θ，等于其特征值之和。

特征值表达式中出现的角度θ对应于欧拉轴的角度和角度表示。