遍历性 (信号处理)

在数学中，遍历性表示运动系统（动力系统或随机过程）的一个点最终将以统一和随机的方式访问系统移动的空间的所有部分。 这意味着系统的平均行为可以从典型点的轨迹中推断出来。 等效地，来自一个过程的足够大的随机样本集合可以代表整个过程的平均统计特性。 遍历性（信号处理）是系统的一个属性； 它声明系统不能减少或分解成更小的组件。 遍历理论是对具有遍历性的系统的研究。

遍历系统出现在物理学和几何学的广泛系统中。 这可以大致理解为一个普遍的现象：粒子的运动，即双曲流形上的测地线是发散的； 当该流形是紧凑的，即大小有限时，这些轨道返回到相同的一般区域，最终填满整个空间。

遍历系统捕捉常识，日常的随机性概念，例如烟雾可能会充满整个充满烟雾的房间，或者一块金属最终可能会始终具有相同的温度，或者翻转 一枚公平的硬币可能有一半的时间出现正面和反面。 比遍历性更强的概念是混合，它旨在用数学来描述混合的常识性概念，例如混合饮料或混合烹饪原料。

遍历性的正确数学表述是建立在测度论和动力系统的正式定义之上的，更确切地说，是建立在保测动力系统的概念之上的。

遍历性（信号处理）出现在物理和数学的广泛设置中。 所有这些设置都由一个共同的数学描述统一，即保测动力系统。 下面立即给出对此的非正式描述以及关于它的遍历性的定义。 接下来是对随机过程中遍历性的描述。 尽管使用截然不同的符号和语言，但它们是一样的。

遍历性的数学定义旨在捕捉关于随机性的日常想法。 这包括关于以（最终）填满所有空间的方式移动的系统的想法，例如扩散和布朗运动，以及混合的常识概念，例如混合油漆、饮料、烹饪原料、工业 过程混合，烟雾弥漫的房间里的烟雾，土星环中的尘埃等等。 为了提供坚实的数学基础，遍历系统的描述从保测动力系统的定义开始。 这写为 (X, A, μ, T)。

集合 X 被理解为要填充的总空间：搅拌碗、充满烟雾的房间等。测量 μ 被理解为定义自然体积 空间 X 及其子空间。 子空间的集合用 A 表示，任何给定子集 A ⊂ X的大小是 μ ( A ) ; 大小是它的体积。 天真地，人们可以想象 A 是 X 的幂集； 这不太可行，因为并非空间的所有子集都有体积（著名的 Banach-Tarski 悖论）。 因此，按照惯例，A 由可测量的子集组成——这些子集确实有体积。 它总是被认为是 Borel 集——可以通过取开集的交集、并集和集补来构造的子集的集合； 这些总是可以被视为可衡量的。

系统的时间演化由映射 T : X → X描述。 给定某个子集 A ⊂ X ，它的映射 T ( A ) 通常是 A 的变形版本——它是 压扁或拉伸、折叠或切成碎片。 数学示例包括面包师地图和马蹄铁地图，它们的灵感均来自面包制作。 集合 T ( A )必须与 A 具有相同的体积； 挤压/拉伸不会改变空间的体积，只会改变它的分布。

当人们试图协调集的体积与在地图下保持其大小的需要时，就会出现形式上的困难。 问题的出现是因为，一般来说，函数域中的几个不同点可以映射到其范围中的同一点。