伯特兰定理

在经典力学中，伯特兰定理指出，在具有束缚轨道的中心力势中，只有两种中心力（径向）标量势具有所有束缚轨道也是闭轨道的性质。

所有有吸引力的中心力都可以产生圆形轨道，这是自然闭合的轨道。 xxx的要求是中心力恰好等于向心力，这决定了给定圆半径所需的角速度。 非中心力（即那些取决于角度变量和半径的力）在这里被忽略，因为它们通常不会产生圆形轨道。

在中心势 V(r) 中运动的质量为 m 的粒子的半径 r 的运动方程由运动方程给出

m d 2 r d t 2 − m r ω 2 = m d 2 r d t 2 − L 2 m r 3 = − d V d r

其中 ω ≡ d θ d t ，角动量 L = mr2ω 守恒。 例如，对于圆形轨道，左边xxx项为零，施加的向内力 d V d r 等于所需的向心力 mrω2，正如预期的那样。

角动量的定义允许自变量从 t 到 θ 的变化：

d d t = L m r 2 d d θ

给出与时间无关的新运动方程：

L r 2 d d θ ( L m r 2 d r d θ ) − L 2 m r 3 = − d V d r 。

如上所述，给定适当的初始速度，所有中心力都可以产生圆形轨道。 然而，如果引入一些径向速度，这些轨道不需要稳定（即无限期地保持在轨道上）或闭合（反复返回完全相同的路径）。 在这里，我们表明稳定、精确闭合的非圆形轨道的必要条件是平方反比力或径向谐振子势能。 在接下来的部分中，我们将展示这两个力定律产生稳定的、完全闭合的轨道。

其中 f 表示径向力。 在半径 r0 处进行完美圆周运动的标准是左侧xxx项为零：

(1)

其中 u 0 ≡ 1 / r 0

下一步是考虑 u 在来自完美圆形轨道的小扰动 η ≡ u − u 0 下的方程。

其中 β 2 ≡ 1 − J ′ ( u 0 ) 是常数。 β2 必须是非负的； 否则，轨道的半径将偏离其初始半径呈指数变化。 （解决方案 β = 0 对应于完美的圆形轨道。）