科恩系列分布

科恩系列分布，即二次时频分布，出现在信号分析和信号处理的一个子领域，称为时频信号处理，以及时间序列数据的统计分析中。这种方法用于处理信号的频率组成可能随时间变化的情况；这个子领域过去被称为时频信号分析，现在更多地被称为时频信号处理，因为在使用这些方法处理广泛的信号处理问题方面取得了进展。

信号分析和时间序列分析中的时间序列分析方法，基本上是作为适用于时域或频域的独立方法而开发的。在时频分析技术中需要一种混合方法，这种方法在分析非稳态信号时特别有效，这些信号的频率分布和幅度随时间变化。这方面的例子有声学信号。二次方时间-频率分布（或双线性时间-频率分布）类被用于时间-频率信号分析。这个类的表述与1966年在量子力学背景下使用的Cohen的类分布函数相似。这种分布函数在数学上类似于利用双线性变换的广义时频表示法。与其他时频分析技术，如短时傅里叶变换（STFT）相比，双线性变换（或二次时频分布）对大多数实际信号可能没有更高的清晰度，但它为研究新定义和新方法提供了一个替代框架。虽然在分析多分量信号时，它确实受到固有的跨期污染的影响，但通过使用精心选择的窗口函数，可以xxx减轻干扰，但要牺牲分辨率。所有这些双线性分布都是可以相互转换的，参考时频分析中分布之间的转换。

Wigner-Ville分布是一个二次形式，测量局部时频能量，由以下公式给出。

P V f ( u , ξ ) = ∫ – ∞ ∞ f ( u + τ 2 ) f ∗ ( u – τ 2 ) e – i τ ξ d τ {displaystyle P_{V}f(u。=int _{-infty }{infty }fleft(u+{{tfrac {tau }{2}}right)f{*}left(u-{{tfrac {tau }{2}}right)e{-itau xi }，dtau }。

Wigner-Ville分布仍然是实数，因为它是f(u + τ/2)-f*(u – τ/2)的傅里叶变换，在τ中具有赫米特对称性。它也可以通过应用Parseval公式写成频率积分。

P V f ( u , ξ ) = 1 2 π ∫ – ∞ f ^ ( ξ + γ 2 ) f ^ ∗ ( ξ – γ 2 ) e i γ u d γ {displaystyle P_{V}f(u,xi )={{frac {1}{2pi }}int _{-infty }{infty }{hat {f}}left(xi +{tfrac {gamma }{2}}right){hat {f}}{*}left(xi -{tfrac {gamma }{2}}right) e{igamma u}, dgamma }

命题1.对于L2(R)中的任何f

∫ – ∞ P V f ( u , ξ ) d u = | f ^ ( ξ ) | 2 {displaystyle int _{-infty }{infty }P_{V}f(u, xi )。du=|{{hat {f}}（ xi ）|{2}}∫ – ∞ P V f ( u , ξ ) d ξ = 2 π | f ( u ) | 2 {displaystyle int _{-infty }{infty }P_{V}f（u,xi ）,dxi =2pi |f（u） |{2}}。

莫亚尔定理。对于L2(R)中的f和g。

2 π | ∫ – ∞ ∞ f ( t ) g ∗ ( t ) d t | 2 = ∫ P V f ( u , ξ ) P V g ( u , ξ ) d u d ξ {\displaystyle 2pi left|int _{-infty }{infty }f(t)g{*}(t)。dtright|{2}=iint {P_{V}f(u,xi )}P_{V}g(u,xi ),du,dxi }命题2（时间-频率支持）。如果f有一个紧凑的支持，那么对于所有的ξ，P V f ( u , ξ ) {P_{V}f(u,xi )}沿u的支持等于f的支持。同样地，如果f ^ {{displaystyle {hat {f}}有一个紧凑的支持，那么对于所有u，P V f ( u , ξ ) {_{V}f(u,xi )}沿ξ的支持等于f ^ {{displaystyle {hat {f}}的支持。

命题3（瞬时频率）。如果f a ( t ) = a ( t ) e i j ( t ) { {displaystyle f_{a}(t)=a(t)e{iphi (t)}

让f = f 1 + f 2 {\displaystyle f=f_{1}+f_{2}}是一个复合信号。然后，我们可以写。

P V f = P V f 1 + P V f 2 + P V [ f 1 , f 2 ] + P V [ f 2 , f 1 ] {P_{V}f=P_{V}f_{1}+P_{V}f_{2}+P_{V}left[f_{1}, f_{2}right]+P_{V}left[f_{2}, f_{1}right]}。

其中

P V [ h , g ] ( u , ξ ) = ∫ – ∞ h ( u + τ 2 ) g ∗ ( u – τ 2 ) e – i τ ξ d τ {\displaystyle P_{V}[h, g](u,xi )=int _{-infty }{infty }hleft(u+{tfrac {tau }{2}right)g{*}left(u-{tfrac {tau }{2}right)e{-itau xi }dtau }。

是两个信号的交叉Wigner-Ville分布。