互协方差

在概率和统计学中，给定两个随机过程{X t }{X_{t}right}和{Y t }。{displaystyle left{Y_{t}right}}的交叉协方差是一个函数，它给出了一个过程与另一个过程在成对时间点上的协方差。用通常的符号E {displaystyleoperatorname {E}}表示期望算子。}表示期望算子，如果过程有平均函数μ X ( t ) = E [ X t ] {displaystyle mu _{X}(t)=operatorname {operatorname {E}}，那么就会有平均函数。}[X_{t}]} 和 μ Y ( t ) = E [ Y t ] { {Ydisplaystyle _{Y}(t)=operatorname {E}.[Y_{t}]}，那么交叉协方差就会在那么交叉协方差由以下公式给出

K X Y ( t 1 , t 2 ) = cov ( X t 1 , Y t 2 ) = E [ ( X t 1 – μ X ( t 1 ) ) ( Y t 2 – μ Y ( t 2 ) ] = E [ X t 1 Y t 2 ] – μ X ( t 1 ) μ Y ( t 2 ) 。{displaystyleoperatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})={cov} (X_{t_{1},Y_{t_{2})={E}operatorname {E}。[(X_{t_{1}}-_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-_{Y}(t_{2})]=operatorname {E}。[X_{t_{1}Y_{t_{2}]-mu _{X}(t_{1})_mu _{Y}(t_{2})。

互协方差与更常用的相关过程的交叉相关有关。

在两个随机向量X = ( X 1 , X 2 , … , X p ) T {displaystylemathbf {X} =(X_{1},X_{2},ldots ,X_{p}){rm {T}}和Y = ( Y 1 , Y 2 , … …, Y q ) T {displaystylemathbf {Y} =(Y_{1},Y_{2},ldots ,Y_{q}){rm {T}}。矩阵K X Y {K} _{XY}}。(通常表示为cov ( X , Y ) {displaystyleoperatorname {cov} (X,Y)})，条目K X Y ( j , k ) = cov ( X j , Y k ) 。{displaystyleoperatorname {K} _{XY}(j,k)=operatorname {cov} (X_{j},Y_{k}).}因此，术语交叉协方差是为了将这个概念与随机向量X的协方差区分开来{displaystylemathbf {X} }，它被理解为矩阵。这被理解为是X {{displaystylemathbf {X}}本身的标量分量之间的协方差矩阵。

在信号处理中，交叉协方差通常被称为交叉相关，是衡量两个信号相似性的指标，常用于通过与已知信号的比较来寻找未知信号的特征。它是信号之间相对时间的函数，有时被称为滑动点积，并在模式识别和密码分析中得到应用。

随机向量的互协方差的定义可概括为随机过程：

设 { X ( t ) } { X ( t ) }{{X(t)}}和{Y ( t ) }}。{{Y(t)}}表示随机过程。那么，过程K X Y {K_{XY}}的交叉协方差函数定义为。

(Eq.1)

其中μ X ( t ) = E [ X ( t ) ] {displaystylemu _{X}(t)=operatorname {E}。μ Y ( t ) = E [ Y ( t ) ] {displaystyle mu _{Y}(t)=operatorname {E}.左[Y(t)/右]}。

如果过程是复值的随机过程，第二个因子需要进行复数共轭。

K X Y ( t 1 , t 2 ) = d e f cov ( X t 1 , Y t 2 ) = E [ ( X ( t 1 ) – μ X ( t 1 ) ) ( Y ( t 2 ) – μ Y ( t 2 ) ) ¯ ] {displaystyleoperatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){stackrel {mathrm {def}.}{=}}operatorname {cov} (X_{t_{1},Y_{t_{2}})=operatorname {E}。

如果 { X t }{Y_{t}right}是一个共同的广义静止的，那么以下是真的。

μ X ( t 1 ) = μ X ( t 2 ) ≜ μ X {displaystyle mu _{X}(t_{1})=mu _{X}(t_{2})triangleq mu _{X}} 对于所有t 1 , t 2 {displaystyle t_{1},t_{2}}来说,μ Y ( t 1 ) = μ Y ( t 2 ) ≜ μ Y { t_{1} = t_{2} = μ Y _{Y}(t_{1}),对于所有t 1 , t 2 { t_{1},t_{2}}的三角形q _{Y}。

K X Y ( t 1 , t 2 ) = K X Y ( t 2 – t 1 , 0 ) {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1},0)} 对于所有 t 1 , t 2 {_{1},t_{2}}显示方式

通过设置τ = t 2 – t 1 {displaystyletau =t_{2}-t_{1}}（时间滞后或者说t_{1}）。(时间滞后，或信号被移位的时间量)，我们可以定义

K X Y ( τ ) = K X Y ( t 2 – t 1 ) ≜ K X Y ( t 1 , t 2 ) {K} _{XY}(tau )=operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1})triangleqoperatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}) } 。

因此，两个共同的WSS过程的交叉协方差函数由以下公式给出。

(Eq.2)

这相当于

K X Y ( τ ) = cov ( X t + τ , Y t ) = E [ ( X t + τ – μ X ) ( Y t – μ Y ) ] = E [ X t + τ Y t ] – μ X μ Y {K} _{XY}(tau )=operatorname {cov} (X_{t+tau }, Y_{t}) =operatorname {E}[(X_{t+tau }-mu _{X})(Y_{t}-mu _{Y})]=operatorname {E}。