李亚普诺夫方程
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李亚普诺夫方程序
在控制理论中，离散李亚普诺夫方程
其中 Q {displaystyle Q} 是厄米矩阵，而 A H {displaystyle A{H}} 是 A {displaystyle A} 的共轭转置。
连续的李亚普诺夫方程
李亚普诺夫方法出现在控制理论的许多分支中，例如稳定性分析和最优控制。 这个方程式和相关方程式以俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫 (Aleksandr Lyapunov) 的名字命名。
稳定性应用
在下面的定理 是对称的。 符号 P > 0 {displaystyle P>0} 表示矩阵 P {displaystyle P} 是正定的。
定理（连续时间版本）。 给定任何 Q > 0 {displaystyle Q>0} ，存在xxx的 P >; 0 {displaystyle P>0} 满足 A T P + P A + Q = 0 {displaystyle A{T}P+PA+Q=0} 当且仅当线性系统 x ˙ = A x {displaystyle { dot {x}}=Ax} 是全局渐近稳定的。 二次函数 V ( x ) = x T P x {displaystyle V(x)=x{T}Px} 是李雅普诺夫函数，可用于验证稳定性。
定理（离散时间版本）。 是李亚普诺夫函数。
解决方案的计算方面
由于李亚普诺夫方程序的特定结构，可以使用专门的算法可以更快地产生解决方案。 对于离散情况，通常使用 Kitagawa 的 Schur 方法。 对于连续的李亚普诺夫方程序，可以使用 Bartels–Stewart 算法。
解析解
定义矢量化运算符 vec ( A ) {displaystyle operatorname {vec} (A)} 为堆叠矩阵 A {displaystyle A} 和 A ⊗ B {displaystyle Aotimes B 的列 } 作为A {displaystyle A} 和B {displaystyle B} 的克罗内克积，连续时间和离散时间李亚普诺夫方法s可以表示为矩阵方程的解。 此外，如果矩阵 A {displaystyle A} 是稳定的，解也可以表示为积分（连续时间情况）或无穷和（离散时间情况）。
离散时间
其中 I n 2 {displaystyle I_{n{2}}} 是一致的单位矩阵，而 A ¯ {displaystyle {bar {A}}} 是 A {displaystyle 的逐元素复共轭 一种} 。
此外，如果 A {displaystyle A} 是稳定的
为了比较，考虑一维的情况
连续时间
再次使用 Kronecker 乘积符号和矢量化算子，可以得到矩阵方程
其中 A ¯ {displaystyle {bar {A}}} 表示通过复共轭 A {displaystyle A} 的条目获得的矩阵。