最佳投影方程

在控制理论中，最优投影方程构成局部最优降阶 LQG 控制器的充分必要条件。

线性二次高斯 (LQG) 控制问题是最基本的最优控制问题之一。 它涉及受加性高斯白噪声干扰的不确定线性系统，不完整的状态信息（即并非所有状态变量都被测量并可用于反馈）也受到加性高斯白噪声和二次成本的干扰。 此外，解是xxx的，构成了一个易于计算和实现的线性动态反馈控制律。 最后，LQG 控制器也是非线性系统最优扰动控制的基础。

LQG 控制器本身是一个动态系统，就像它所控制的系统一样。 两个系统具有相同的状态维度。 因此，如果系统状态的维度很大，那么实施 LQG 控制器可能会出现问题。 降阶 LQG 问题（定阶 LQG 问题）通过先验固定 LQG 控制器的状态数来克服这个问题。 这个问题更难解决，因为它不再是可分离的。 解决方案也不再是xxx的。 尽管存在这些事实，但数值算法可用于求解相关的最优投影方程。

降阶 LQG 控制问题与传统的全阶 LQG 控制问题几乎相同。 让 x ^ r ( t ) {displaystyle {hat {mathbf {x} }}_{r}(t)} 表示降阶 LQG 控制器的状态。 那么xxx的区别就是状态维度 n r = d i m ( x ^ r ( t ) ) {displaystyle n_{r}=dim({hat {mathbf {x} }}_{r}(t ))} LQG 控制器的先验固定小于 n = d i m ( x ( t ) ) {displaystyle n=dim({mathbf {x} }(t))} ，状态维度 的受控系统。

维度为 n {displaystyle n} 的方形最优投影矩阵 τ ( t ) {displaystyle tau (t)} 是 OPE 的核心。 该矩阵的秩几乎处处等于 n r 。 {displaystyle n_{r}.} 关联的投影是一个倾斜投影：τ 2 ( t ) = τ ( t ) 。 {displaystyle tau {2}(t)=tau (t).} OPE 构成了四个矩阵微分方程。 下面列出的前两个方程是与传统全阶 LQG 控制器相关的矩阵 Riccati 微分方程的推广。 在这些等式中，τ ⊥ ( t ) {displaystyle tau _{perp }(t)} 表示 I n − τ ( t ) {displaystyle I_{n}-tau (t)} 其中 I n {displaystyle I_{n}} 是维度 n {displaystyle n} 的单位矩阵。