西尔维斯特方程
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西尔维斯特方程
在数学中，在控制理论领域，一个希尔维斯特方法是以下形式的矩阵方程：
A X + X B = C 。 {displaystyle AX+XB=C.}
然后给定矩阵 A、B 和 C，问题是找到满足此方程的可能矩阵 X。 假定所有矩阵都具有复数系数。 为了使等式有意义，矩阵必须具有适当的大小，例如，它们可以都是相同大小的方阵。 但更一般地，A 和 B 必须分别是大小为 n 和 m 的方阵，然后 X 和 C 都具有 n 行和 m 列。
当 A 和 -B 没有共同的特征值时，西尔维斯方程对 X 有xxx解。更一般地，方程 AX + XB = C 被认为是一个有界算子的方程（可能是无限的） 维）巴拿赫空间。 在这种情况下，解 X xxx性的条件几乎相同：恰好当 A 和 -B 的光谱不相交时，存在xxx解 X。
解的存在性和xxx性
使用 Kronecker 乘积符号和矢量化运算符 vec {displaystyle operatorname {vec} } ，
在这种形式下，方程可以看作是维度为 m n × m n {displaystyle mntimes mn} 的线性系统。
证明。 方程 A X + X B = C {displaystyle AX+XB=C} 是一个线性系统，有 m n {displaystyle mn} 个未知数和相同数量的方程。 因此它对于任何给定的 C {displaystyle C} 都是xxx可解的，当且仅当齐次方程 A X + X B = 0 {displaystyle AX+XB=0} 只接受平凡解 0 {displaystyle 0} 。
作为光谱映射定理的替代方案，证明的 (i) 部分中 p ( − B ) {displaystyle p(-B)} 的非奇异性也可以通过 Bézout 的互素多项式恒等式证明。 令 q {displaystyle q} 为 − B {displaystyle -B} 的特征多项式。 由于 A {displaystyle A} 和 − B {displaystyle -B} 不共享任何特征值。