希尔伯特第十六问题
目录
希尔伯特第十六题
希尔伯特第 16 个问题是大卫·希尔伯特在 1900 年国际数学家大会巴黎会议上提出的，是他列出的 23 个数学问题之一。
最初的问题被提出为代数曲线和曲面的拓扑问题 (Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen)。
实际上，该问题由数学不同分支中的两个类似问题组成：
n = 8 时xxx个问题尚未解决。因此，这个问题通常是在谈论实代数几何中的希尔伯特第十六题时所指的问题。 第二个问题也仍未解决：对于任何 n > 的情况，极限循环数的上限未知。 1，这就是希尔伯特第十六题在动力系统领域中通常的意思。
西班牙皇家数学学会发表了对希尔伯特第十六题的解释。
希尔伯特第16题xxx部分
1876 年，Harnack 研究了实射影平面中的代数曲线，发现 n 次曲线的长度不超过
n 2 − 3 n + 4 2 {displaystyle {n{2}-3n+4 over 2}}
分离连接的组件。 此外，他展示了如何构建达到该上限的曲线，因此它是最佳可能的界限。 具有该数量组件的曲线称为 M 曲线。
希尔伯特研究了 6 次 M 曲线，发现 11 个分量总是以某种方式分组。 他现在对数学界的挑战是彻底研究 M 曲线分量的可能配置。
此外，他要求将 Harnack 曲线定理推广到代数曲面，并对具有xxx分量数的曲面进行类似的研究。
希尔伯特第十六题第二部分
在这里，我们将考虑实平面中的多项式矢量场，即以下形式的微分方程组：
d x d t = P ( x , y ) , d y d t = Q ( x , y ) {displaystyle {dx over dt}=P(x,y),qquad {dy over dt}=Q(x ,y)}
其中 P 和 Q 都是 n 次实数多项式。
庞加莱研究了这些多项式向量场，他产生了放弃寻找系统精确解的想法，而是试图研究所有可能解集合的定性特征。
在众多重要发现中，他发现此类解的极限集不必是驻点，而可以是周期解。 这样的解决方案称为极限环。
希尔伯特第 16 题的第二部分是确定 n 次多项式向量场中极限环数的上限，并且与xxx部分类似，研究它们的相对位置。
问题的原始表述
希尔伯特在演讲中提出了以下问题：
Harnack (Mathematische Annalen, 10) 确定了 n 次代数曲线的闭合分支和分离分支的上限； 由此产生了关于平面中分支的相对位置的进一步问题。至于 6 阶曲线，我已经——诚然以一种相当复杂的方式——说服自己，根据哈纳克，他们可以拥有 11 个分支 ，永远不可能全部分开，而是必须存在一个分支，其中另一个分支在其内部运行，九个分支在其外部运行，或者相反。 在我看来，对 rel 的彻底调查。