庞加莱映射
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庞加莱映射
在数学中，特别是在动力系统中，以 Henri Poincaré 命名的xxx个递归映射或递归映射是连续动力系统状态空间中的周期轨道与某个低维子空间（称为 Poincaré）的交集 部分，横向于系统的流程。 更准确地说，考虑在空间的一部分内具有初始条件的周期轨道，它随后离开该部分，并观察该轨道首先返回该部分的点。 然后创建一个映射以将xxx个点发送到第二个点，因此名称为xxx个循环映射。 庞加莱截面的横向性意味着从子空间开始的周期轨道流过它而不是平行于它。
放大莱映射可以解释为状态空间比原始连续动力系统小一维的离散动力系统。 由于它保留了原系统的许多周期和准周期轨道的性质，并且具有较低维的状态空间，因此常用于以更简单的方式分析原系统。 在实践中，这并不总是可行的，因为没有通用的方法来构建放大莱映射。
放大莱映射不同于那个空间中的递归图，而不是时间，它决定了何时绘制一个点。 例如，地球在近日点时月球的轨迹是一个重现图； 月球穿过与地球轨道垂直的平面并在近日点穿过太阳和地球时的轨迹是一个庞加莱投影。 它被 Michel Hénon 用来研究星系中恒星的运动，因为投影到平面上的恒星路径看起来像一团乱麻，而放大莱射则更清楚地显示结构。
定义
设 (R, M, φ) 为全局动力系统，R 为实数，M 为相空间，φ 为演化函数。 设 γ 是通过点 p 的周期轨道，S 是 φ 通过 p 的局部可微横截面，称为通过 p 的庞加莱截面。
给定 p 的一个开放且连通的邻域 U ⊂ S {displaystyle Usubset S}，一个函数
P : U → S {displaystyle P:Uto S}
对于通过点 p 的庞加莱截面 S 上的轨道 γ 称为放大莱投影，如果
- P(p) = p
- P(U) 是 p 的邻域并且 P:U → P(U) 是微分同胚
- 对于U中的每个点x，x的正半轨道xxx次与S相交于P(x)
例子
考虑以下极坐标微分方程组
系统的流量可以通过对等式进行积分得到：对于 θ {displaystyle theta } 分量，我们简单地有 θ ( t ) = θ 0 + t {displaystyle theta (t)= theta _{0}+t} 而对于 r {displaystyle r} 组件流的行为如下：
- 角度 θ {displaystyle theta } 单调且以恒定速率增加。
- 对于每个值，半径 r {displaystyle r} 趋向于平衡 r¯ = 1 {displaystyle {bar {r}}=1}。
因此，具有初始数据 ( θ 0 , r 0 ≠ 1 ) {displaystyle (theta _{0},r_{0}neq 1)} 的解绘制了一个趋向于半径为 1 的圆的螺旋。
我们可以将正水平轴作为该流的庞加莱截面，即 Σ = { ( θ , r ) : θ = 0 } {displaystyle Sigma ={(theta ,r) : theta =0}} ：显然我们可以使用 r {displaystyle r} 作为截面上的坐标。 Σ {displaystyle Sigma } 中的每个点在时间 t = 2 π {displaystyle t=2pi } 后返回到该部分（这可以通过观察角度的演变来理解）：我们 可以将 Φ {displaystyle Phi } 限制在 Σ {displaystyle Sigma } 在时间 2 π {displaystyle。