自由变量和约束变量

在数学以及涉及形式语言的其他学科（包括数理逻辑和计算机科学）中，自由变量是一种符号（符号），它指定表达式中可能发生替换的位置，并且不是此表达式或任何容器表达式的参数。 一些较旧的书籍分别使用术语实变量和表观变量来表示自由变量和约束变量。 这个想法与占位符（稍后将被某个值替换的符号）或代表未指定符号的通配符有关。

在计算机编程中，术语自由变量是指函数中使用的既不是局部变量也不是该函数参数的变量。 术语非局部变量在这种情况下通常是同义词。

相反，绑定变量是已经绑定到论域或域中的特定值或值范围的变量。 这可以通过使用逻辑量词、变量绑定运算符或变量允许值的显式声明（例如，…其中 n {displaystyle n} 是正整数）来实现。示例在 下一节。 无论如何，变量不再是表达式值所依赖的自变量，无论该值是真值还是计算的数值结果，或者更一般地说，是图像集的元素 功能。 请注意，虽然可以理解许多上下文中的论域，但是当未给出绑定变量的明确值范围时，可能需要指定域以正确评估表达式。

如果 x  和 y 的定义域是实数，则此表达式计算结果为假，但如果定义域是复数，则计算结果为真。

术语虚拟变量有时也用于绑定变量（在普通数学中比在计算机科学中更常见），但这不应与统计中使用的同名但不相关的虚拟变量概念混淆，最常见于回归分析 .

在陈述自由变量和绑定变量的精确定义之前，以下是一些示例，这些示例可能使这两个概念比定义更清楚

n是自由变量，k是约束变量； 因此，该表达式的值取决于 n 的值，但没有任何称为 k 的东西可以依赖。

y 是自由变量，x 是绑定变量； 因此，该表达式的值取决于 y 的值，但没有任何称为 x 的东西可以依赖。

x是自由变量，h是绑定变量； 因此，该表达式的值取决于 x 的值，但没有任何称为 h 的东西可以依赖。

z 是自由变量，x 和 y 是绑定变量，与逻辑量词相关联； 因此，这个表达式的逻辑值取决于 z 的值，但没有任何东西可以依赖于 x 或 y。

更广泛地说，在大多数证明中，都使用了绑定变量。

例如，以下证明表明所有正偶数的平方都可以被 4 整除 {displaystyle 4}

在证明中，不仅 k 而且 n 都作为一个整体被用作约束变量。

是一些常见的变量绑定运算符。 它们中的每一个都为某个集合 S 绑定了变量 x。

请注意，其中许多是作用于绑定变量函数的运算符。 在更复杂的上下文中，这样的符号可能会变得笨拙和混乱。