镜像法

镜像电荷法（又称镜像法、镜像电荷法）是静电学中的基本解题工具。 该名称源于用虚电荷替换原始布局中的某些元素，这复制了问题的边界条件。

图像电荷方法的有效性取决于唯 一性定理的推论，该定理指出，如果指定整个区域的电荷密度和所有边界上的电势值，则体积 V 中的电势是xxx确定的。或者，将此推论应用于高斯定律的微分形式表明，在被导体包围并包含指定电荷密度 ρ 的体积 V 中，如果每个导体上的总电荷给定，则电场唯 一确定。

掌握了电势或电场的知识以及相应的边界条件，我们可以将我们正在考虑的电荷分布换成更容易分析的配置，只要它满足泊松方程。

图像电荷法最简单的例子是点电荷，电荷为 q，位于 ( 0 , 0 , a ) {displaystyle (0,0,a)} 上方无限接地（即：V = 0 {displaystyle V=0} ) xy 平面中的导电板。 为了简化这个问题，我们可以用位于 ( 0 , 0 , − a ) {displaystyle (0,0,-a)} 的电荷 −q 代替等势板。 这种布置将在z＞1的任何点产生相同的电场。 0 {displaystyle z>0}（即在导电板上方），并满足沿板的电势必须为零的边界条件。 这种情况等同于原始设置，因此现在可以使用两个点电荷之间的库仑定律计算实际电荷上的力。

由于 z 轴上 +a 处的电荷 +q 和 −a 处的 −q 这两个点电荷，空间中任意点的电势在柱坐标中给出为

V ( ρ , φ , z ) = 1 4 π ε 0 ( q ρ 2 + ( z − a ) 2 + − q ρ 2 + ( z + a ) 2 ) {displaystyle Vleft(rho ,varphi ,zright)={frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}left({frac {q}{sqrt { rho {2}+left(z-aright){2}}}}+{frac {-q}{sqrt {rho {2}+left(z+a 右）{2}}}}右）,}

因此，接地平面上的表面电荷密度为

σ = − ε 0 ∂ V ∂ z | z = 0 = − q a 2 π ( ρ 2 + a 2 ) 3 / 2 {displaystyle sigma =-varepsilon _{0}left.{frac {partial V}{ partial z}}right|_{z=0}={frac {-qa}{2pi left(rho {2}+a{2}right){3 /2}}}}

此外，在导电平面上感应的总电荷将是整个平面上电荷密度的积分，因此：

Q t = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ σ ( ρ ) ρ d ρ d θ = − q a 2 π ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 ∞ ρ d ρ ( ρ 2 + a 2 ) 3 / 2 = − q { displaystyle {begin{aligned}Q_{t}&=int _{0}{2pi }int _{0}{infty }sigma left( rho right),rho ,drho ,dtheta \[6pt]&={frac {-qa}{2pi } }int _{0}{2pi }dtheta int _{0}{infty }{frac {rho ,drho }{left (rho {2}+a{2}right){3/2}}}\[6pt]&=-qend{aligned}}}

平面上感应的总电荷原来只是-q。 这也可以从高斯定律看出，考虑到偶极子场在远距离的立方处减小，因此通过无限大球体的场总通量消失。

由于电场满足叠加原理，多个点电荷下方的导电平面可以单独由每个电荷的镜像代替，无需其他修改。

在 ( 0 , 0 , a ) {displaystyle (0,0,a)} 处的电偶极矩 p 在 xy 平面中的无限接地导电平面上方的图像是 ( 0 , 0 , − a ) {displaystyle (0,0,-a)} 具有相等的大小和方向，方位角旋转了 π。 也就是说，具有笛卡尔分量的偶极矩 ( p sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ , p sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ , p cos ⁡ θ ) {displaystyle (psin theta cos phi , psin theta sin phi ,pcos theta )} 将在图像中具有偶极矩 ( − p sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ , − p sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ , p cos ⁡ θ ) {displaystyle (-psin theta cos phi ,-psin theta sin phi ,pcos theta )} 。 偶极子在 z 方向受到力，由下式给出

F = − 1 4 π ε 0 3 p 2 16 a 4 ( 1 + cos 2 ⁡ θ ) {displaystyle F=-{frac {1}{4pi varepsilon _{0}}} {frac {3p{2}}{16a{4}}}left(1+cos {2}theta right)}

和垂直于偶极子和导电平面的平面中的扭矩。