系统尺度展开

系统规模展开，也称为 van Kampen 展开或 Ω 展开，是由 Nico van Kampen xxx的用于随机过程分析的技术。 具体来说，它允许人们找到具有非线性转换率的主方程的解的近似值。 展开式的主要阶项由线性噪声近似给出，其中主方程由 Fokker-Planck 方程近似，其线性系数由系统的跃迁速率和化学计量决定。

不太正式的是，写下过程随机发生的系统的数学描述通常很简单（例如，放射性原子在物理系统中随机衰变，或基因在细胞中随机表达）。 然而，这些数学描述对于系统统计研究来说往往太难解决（例如，原子或蛋白质数量的均值和方差作为时间的函数）。 系统规模扩展允许人们获得比主方程更容易求解的近似统计描述。

允许系统规模扩展的系统可以用概率分布 P ( X , t ) {displaystyle P(X,t)} 来描述，给出在状态 X {displaystyle X 观察系统的概率 } 在时间 t {displaystyle t} 。 X {displaystyle X} 可以是，例如，一个向量，其元素对应于系统中不同化学物质的分子数量。 在大小为 Ω {displaystyle Omega } 的系统中（直观地解释为体积），我们将采用以下命名法：X {displaystyle mathbf {X} } 是宏观拷贝数的向量，x = X / Ω {displaystyle mathbf {x} =mathbf {X} /Omega } 是一个浓度向量，而 ϕ {displaystyle mathbf {phi } } 是一个向量 确定性浓度，因为它们会根据无限系统中的速率方程出现。 x {displaystyle mathbf {x} } 和 X {displaystyle mathbf {X} } 因此是受随机效应影响的量。

主方程描述了这种概率的时间演变。 此后，将讨论化学反应系统以提供具体示例，尽管物种和反应的命名法是通用的。

RHS 上的初始总和超过所有反应。 对于每个反应 j {displaystyle j} ，紧跟在总和之后的括号给出两项。 具有简单系数 −1 的项给出了由于反应 j {displaystyle j} 改变状态而离开给定状态 X {displaystyle mathbf {X} } 的概率通量。 步骤运算符乘积前面的项给出了由于反应 j {displaystyle j} 将不同状态 X ′ {displaystyle mathbf {X’} } 变为状态 X {displaystyle mathbf {X} } 。