朗道量子化
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朗道量子化
在量子力学中，朗道量子化是指均匀磁场中带电粒子回旋轨道的量子化。 因此，带电粒子只能占据具有离散、等距能量值的轨道，称为朗道能级。 这些能级是简并的，每个能级的电子数量与施加的磁场强度成正比。 它以苏联物理学家列夫朗道的名字命名。
朗道量子化直接负责金属的电子敏感性，称为朗道抗磁性。 在强磁场下，朗道量子化导致材料电子特性的振荡，作为施加磁场的函数，称为 De Haas–Van Alphen 和 Shubnikov–de Haas 效应。
朗道量子化是解释整数量子霍尔效应的关键成分。
推导
考虑一个非相互作用粒子系统，其电荷 q 和自旋 S 被限制在 x-y 平面中的区域 A = LxLy。 施加均匀磁场 B = ( 0 0 B ) {displaystyle mathbf {B} ={begin{pmatrix}0\0\Bend{pmatrix}}} z 轴。 在 CGS 单元中，该系统的哈密顿量（此处忽略自旋的影响）为 H ^ = 1 2 m | p ^ – q A ^ | 2. {displaystyle {hat {H}}={frac {1}{2m}}left|{hat {mathbf {p} }}-q{hat { mathbf {A} }}right|{2}.} 这里，p ^ {textstyle {hat {mathbf {p} }}} 是规范动量算子，A ^ {textstyle { hat {mathbf {A} }}} 是电磁矢量势，它与磁场的关系为 B = ∇ × A ^ 。 {displaystyle mathbf {B} =mathbf {nabla } times {hat {mathbf {A} }}.}
对于给定的磁场，矢量势的选择有一定的规范自由度。 哈密顿量是规范不变的，这意味着将标量场的梯度添加到 Â 会根据与标量场对应的量改变波函数的整体相位。 但物理特性不受特定规格选择的影响。
朗道规范
为了计算简单，选择朗道规范，即 A ^ = ( 0 B x ^ 0 ) 。 {displaystyle {hat {mathbf {A} }}={begin{pmatrix}0\B{hat {x}}\0end{pmatrix} }.} 其中 B = |B| x̂ 是位置算子的 x 分量。
在此规范中，哈密顿量为 H ^ = p ^ x 2 2 m + 1 2 m ( p ^ y − q B x ^ ) 2 + p ^ z 2 2 m 。 {displaystyle {hat {H}}={frac {{hat {p}}_{x}{2}}{2m}}+{frac {1}{2m}} left({hat {p}}_{y}-qB{hat {x}}right){2}+{frac {{hat {p}}_{z }{2}}{2m}}.} 运算符 p ^ y {displaystyle {hat {p}}_{y}} 与这个哈密顿量互换，因为在选择规范时没有运算符 ŷ。 因此运算符 p ^ y {displaystyle {hat {p}}_{y}} 可以用它的特征值 ħky 代替。 由于z ^ {displaystyle {hat {z}}} 没有出现在哈密顿量中，只有z动量出现在动能中，所以这个沿z方向的运动是自由运动。
哈密顿量也可以写得更简单
要找到能量，请注意平移谐振子势不会影响能量。 因此，该系统的能量与标准量子谐振子的能量相同，E n = ℏ ω c ( n + 1 2 ) + p z 2 2 m , n ≥ 0 。 {displaystyle E_{n}=hbar omega _{rm {c}}left(n+{frac {1}{2}}right)+{frac { p_{z}{2}}{2m}},quad ngeq 0~.} 能量不依赖于量子数ky，所以会有有限个简并（如果粒子放在 在无限制空间中，这种退化将对应于 p y {displaystyle p_{y}} ) 的连续序列。 如果粒子在 z 方向不受限制，则 p z {displaystyle p_{z}} 的值是连续的，如果粒子在 z 方向也是有界的，则 p z {displaystyle p_{z}} 的值是离散的。 每组具有相同 n 值的波函数称为朗道能级。
对于波函数，回想一下 p ^ y {displaystyle {hat {p}}_{y}} 与哈密顿量交换。 然后波函数分解为 y 方向动量本征态与谐振子本征态的乘积。 ϕ n ⟩ {displaystyle |phi _{n}rangle } 在 x 方向移动了 x0 的量： Ψ ( x , y , z ) = e i ( k y y + k z z ) ϕ n ( x − x 0 ) {displaystyle Psi (x,y,z)=e{i(k_{y}y+k_{z}z)}phi _{n}(x-x_{0})} 其中 k z = p z / ℏ {displaystyle k_{z}=p_{z}/hbar } 。 总之，电子的状态由量子数 n、ky 和 kz 表征。