南部力学

在数学中，“南部力学”是涉及多个哈密顿量的哈密顿力学的推广。 回想一下，哈密顿力学是基于辛流形上的光滑哈密顿量所产生的流。 流是辛同胚，因此服从刘维尔定理。 这很快被推广到哈密顿量在泊松流形上产生的流。 1973 年，Yoichiro Nambu 建议对具有多个哈密顿量的 Nambu-Poisson 流形进行推广。

具体来说，考虑一个微分流形 M，对于某个整数 N ≥ 2； 有一个从 C∞ (M) 的 N 个副本到自身的平滑 N 线性映射，因此它是完全反对称的：Nambu 括号，

{ h 1 , … , h N − 1 , ⋅ } : C ∞ ( M ) × ⋯ C ∞ ( M ) → C ∞ ( M ) , {\displaystyle \{h_{1},\ldots ,h_ {N-1},\cdot \}:C{\infty }(M)\times \cdots C{\infty }(M)\rightarrow C{\infty }(M), }

作为推导

{ h 1 , … , h N − 1 , f g } = { h 1 , … , h N − 1 , f } g + f { h 1 , … , h N − 1 , g } , {\displaystyle \ {h_{1},\ldots ,h_{N-1},fg\}=\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},f\}g+f\ {h_{1},\ldots ,h_{N-1},g\},}

Filippov 恒等式 (FI)，（唤起雅可比恒等式，但与它们不同的是，对于 N ≥ 2，在所有论点中都不是反对称的）：

{ f 1 ,⋯ , f N − 1 , { g 1 ,⋯ , g N } } = { { f 1 ,⋯ , f N − 1 , g 1 } , g 2 ,⋯ , g N } + { g 1 , { f 1 , ⋯ , f N − 1 , g 2 } , ⋯ , g N } + … {\displaystyle \{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~\ {g_{1},\cdots ,~g_{N}\}\}=\{\{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~g_{1} \},~g_{2},\cdots ,~g_{N}\}+\{g_{1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1}, ~g_{2}\},\cdots ,g_{N}\}+\dots } + { g 1 , ⋯ , g N − 1 , { f 1 , ⋯ , f N − 1 , g N } } , {\displaystyle +\{g_{1},\cdots ,g_{N-1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{N }\}\},}

因此 {f1, …, fN−1, •} 作为 N 重乘积 { 的广义推导。 ,…, .}。

有 N − 1 个哈密顿量，H1, …, HN−1，产生不可压缩流，

d d t f = { f , H 1 , … , H N − 1 } , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\{f,H_{1},\ldots ,H_{N- 1}\},}

广义相空间速度是无散的，使刘维尔定理成为可能。 N = 2 的情况简化为泊松流形和传统的哈密顿力学。

对于更大的偶数 N，N−1 哈密顿量等同于xxx数量的独立运动不变量（参见守恒量），表征在 N 维相空间中演化的超可积系统。 这样的系统也可以用传统的哈密顿动力学来描述； 但它们在南部力学框架中的描述更加优雅和直观，因为所有不变量都享有与哈密顿量相同的几何地位：相空间中的轨迹是这些不变量指定的 N − 1 个超曲面的交集。 因此，流垂直于这些哈密顿量的所有 N − 1 个梯度，从那里平行于相应 Nambu 括号指定的广义叉积。

南部力学可以扩展到流体动力学，其中产生的 Nambu 括号是非规范的，并且 Hamiltonians 与系统的 Casimir 相同，例如熵或螺旋性

量化 Nambu 动力学导致有趣的结构，当涉及超可积系统时，这些结构与传统的量化结构一致——这是必然的。