布彻群

在数学中，布彻群是以新西兰数学家JohnC.Butcher的名字命名的，由Hairer&Wanner(1974)，是一个无穷大的李群，首先在数值分析中引入，用于研究Runge-Kutta方法的非线性常微分方程的解。它产生于一个涉及有根树的代数形式主义，它提供了模拟矢量场流动的微分方程的正式幂级数解。正是Cayley(1857)，在Sylvester关于微分中变量变化的工作的推动下，首次注意到函数组合的导数可以方便地用有根树及其组合学来表达。Connes&Kreimer(1999)指出，Butcher群是有根树的Hopf代数的字符群，它是在他们自己关于量子场论中的重正化工作以及Connes与Moscovici关于局部指数定理的工作中独立产生的。这个霍普夫代数，通常被称为康尼斯-克莱默代数，本质上等同于布彻群，因为它的对偶可以确定为布彻群的李代数的普遍包络代数。正如他们所评论的那样。我们认为布彻在数值积分方法分类方面的工作是一个令人印象深刻的例子，即以问题为导向的具体工作可以导致意义深远的概念性结果。

有根的树是有一个杰出的节点的图，称为根，其中每一个其他节点都通过一个xxx的路径与根相连。如果一棵树t的根被移除，并将通过单一路径连接到原节点的节点作为新的根，那么树t就会分解成有根树t1，t2，……。颠倒这个过程，通过将树的根连接到一个新的共同根上，可以构建一个新的树t=[t1,t2,…]。树中的节点数用|t|来表示。有根树t的堆排序是将数字1到|t|分配给节点，使数字在离开根的任何路径上都增加。如果有一个有根树的自动变形将其中一个映射到另一个上，那么两个堆排序就是等价的。

某棵树上的堆排序的等价类的数量用α(t)表示，可以用Butcher的公式计算。{displaystyle{dx(s)overds}=f(x(s)),,,x(0)=x_{0},}其中x(s)在U中取值，f是U到RN的平滑函数，x0是时间s=的起点。其中x(s)在U中取值，f是一个从U到RN的平滑函数，x0是时间s=0时的流的起点。Cayley(1857)给出了一种方法来计算有根树的高阶导数x(m)(s)。他的公式可以用Butcher引入的基本微分来方便地表达。举个例子，当N=1时，x和f是单一实数变量的实值函数，该公式得出的结果是在单变量中，这个公式与FaàdiBruno的1855年公式相同。