帐篷映射

在数学中，参数为 μ 的帐篷图是定义为实值函数 fμ

得名于 fμ 图形的帐篷状。 对于参数μ在0和2之间的取值，fμ将单位区间[0, 1]映射到自身，从而在其上定义了一个离散时间动力系统（相当于递归关系）。

其中 μ 是正实常数。 例如选择参数 μ = 2，函数 fμ 的效果可以看作是将单位区间一分为二，然后拉伸所得区间 [0, 1/2] 以再次得到区间 [ 0, 1]。 迭代该过程，区间的任何点 x0 假设新的后续位置，如上所述，在 [0, 1] 中生成序列 xn。

帐篷图的 μ = 2 {displaystyle mu =2} 情况是位移图和 r = 4 逻辑图情况的非线性变换。

参数 μ = 2 的帐篷图和参数 r = 4 的逻辑图在拓扑上是共轭的，因此在迭代下这两个图的行为在这个意义上是相同的。

根据 μ 的值，帐篷图展示了从可预测到混乱的一系列动态行为。

• 如果 μ 小于 1，则对于 x 的所有初始值，点 x = 0 是系统的一个有吸引力的不动点，即系统将从 x 的任何初始值收敛到 x = 0。
• 如果 μ 为 1，则所有 x 小于或等于 1/2 的值都是系统的不动点。
• 如果 μ 大于 1，则系统有两个不动点，一个在 0，另一个在 μ/(μ +⟩1)。 两个固定点都是不稳定的，即接近任一固定点的 x 值将远离它，而不是移向它。 例如，当 μ 为 1.5 时，在 x = 0.6 处有一个固定点（因为 1.5(1 − 0.6) = 0.6）但从 x = 0.61 开始，

• 如果 μ 介于 1 和 2 的平方根之间，系统会将 μ − μ2/2 和 μ/2 之间的一组区间映射到自身。 这组区间就是图的Julia集——也就是说，它是这个图下实线的最小不变子集。 如果μ大于2的平方根，则这些区间合并，Julia集就是μ − μ2/2到μ/2的整个区间（见分岔图）。
• 如果 μ 介于 1 和 2 之间，区间 [μ − μ2/2, μ/2] 包含周期点和非周期点，尽管所有轨道都是不稳定的（即附近的点远离轨道而不是 对他们）。 随着 μ 的增加，出现更长的轨道。

• 如果 μ 等于 2，系统将区间 [0, 1] 映射到自身。 现在在这个区间内有每个轨道长度的周期点，以及非周期点。 [0, 1] 中的周期点密集，因此地图变得混乱。 事实上，当且仅当 x 0 {displaystyle x_{0}} 是无理数时，动态才会是非周期性的。 这可以通过注意当 x n {displaystyle x_{n}} 以二进制表示法表示时地图的作用可以看出：它将二进制小数点向右移动一位； 然后，如果出现在二进制小数点左侧的是 1，它会将所有 1 更改为 0，反之亦然（在有限二进制扩展的情况下，最后一位 1 除外）； 从一个无理数开始，这个过程会一直持续下去，不会重复。 x 的不变测度是单位区间内的均匀密度。