仓本-希伐欣斯基方程
目录
仓本-希伐欣斯基方程
在数学中，仓本-希洛欣斯方程（也称为 KS 方程或火焰方程）是一个四阶非线性偏微分方程。 它以 Yoshiki Kuramoto 和 Gregory Sivashinsky 的名字命名，他们在 20 世纪 70 年代后期推导出方程来模拟层流火焰前锋中的扩散-热不稳定性。 库本-希洛欣斯基金会以其混乱的行为而闻名。
定义
通过对 x {displaystyle x} 微分并代入 v = u x {displaystyle v=u_{x}} 获得。 这是流体动力学应用中使用的形式。
其中 Δ {displaystyle Delta } 是拉普拉斯算子，而 Δ 2 {displaystyle Delta {2}} 是双调和算子。
属性
1d 仓本-希洛欣斯基础方法的柯西问题在 Hadamard 的意义上是适定的——也就是说，对于给定的初始数据 u ( x , 0 ) {displaystyle u(x,0)} ， 存在一个xxx的解决方案 u ( x , 0 ≤ t < ∞ ) {displaystyle u(x,0leq t<infty )} 持续依赖于初始数据。
1d 仓本-希洛欣斯方程序具有伽利略不变性——也就是说，如果 u ( x , t ) {displaystyle u(x,t)} 是一个解，那么 u ( x − c t , t ) − c {displaystyle u(x-ct,t)-c} ，其中 c {displaystyle c} 是任意常数。 在物理上，因为 u {displaystyle u} 是一个速度，这个变量的变化描述了到一个以恒定相对速度 c {displaystyle c} 移动的框架的转变。 在周期域上，该方程也具有反射对称性：如果 u ( x , t ) {displaystyle u(x,t)} 是解，则 − u ( − x , t ) {displaystyle -u (-x,t)} 也是一个解决方案。
解决方案
仓本-希洛欣斯基方程序的解具有丰富的动力学特性。 考虑周期性域 0 ≤ x ≤ L {displaystyle 0leq xleq L} ，随着域大小 L {displaystyle L} 的增加，动力学经历了一系列分叉，最终出现 的混乱行为。
根据 L {displaystyle L} 的值，解决方案可能包括平衡、相对平衡和行波——所有这些通常随着 L {displaystyle L} 的增加而变得动态不稳定。 特别是，向混沌的转变是通过一系列倍周期分岔发生的。
应用
库本-希洛辛斯基方法的应用超出了其最初的火焰传播和反应扩散系统的范围。 这些额外的应用包括管道和界面处的流动、等离子体、化学反应动力学和离子溅射表面模型。