自治系统 (数学)

在数学中，自治系统或自治微分方程是不明确依赖于自变量的常微分方程组。 当变量是时间时，它们也被称为时不变系统。

物理学中的许多定律，其中自变量通常被假定为时间，被表示为自治系统，因为假设现在适用的自然定律与过去或未来任何一点的自然定律相同。

自治系统是一个常微分方程组，其形式为 d d t x ( t ) = f ( x ( t ) ) {displaystyle {frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t ))} 其中 x 在 n 维欧氏空间中取值； t 通常被解释为时间。

它与 d d t x ( t ) = g ( x ( t ) , t ) {displaystyle {frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t) 形式的微分方程组不同 ),t)} 其中支配系统演化的法则不仅仅取决于系统的当前状态，还取决于参数 t，通常又被解释为时间； 根据定义，此类系统不是自主的。

在水平平移下解是不变的：

设 x 1 ( t ) {displaystyle x_{1}(t)} 是自治系统 d d t x ( t ) = f ( x ( t ) ) , x ( 0 ) = x 的初始值问题的xxx解 0。 {displaystyle {frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t)),,quad x(0)=x_{0}.} 那么 x 2 ( t ) = x 1 ( t − t 0 ) {displaystyle x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})} 求解 d d t x ( t ) = f ( x ( t ) ) , x ( t 0 ) = x 0 。 {displaystyle {frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t)),,quad x(t_{0})=x_{0}.} 表示 s = t − t 0 {displaystyle s=t-t_{0}} 得到 x 1 ( s ) = x 2 ( t ) {displaystyle x_{1}(s)=x_{2}(t)} d s = d t {displaystyle ds=dt} ，因此 d d t x 2 ( t ) = d d t x 1 ( t − t 0 ) = d d s x 1 ( s ) = f ( x 1 ( s ) ) = f ( x 2 ( t ））。 {displaystyle {frac {d}{dt}}x_{2}(t)={frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={ frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t)).}对于初始条件，验证是微不足道的，x 2 ( t 0 ) = x 1 ( t 0 − t 0 ) = x 1 ( 0 ) = x 0 。 {displaystyle x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}。}

方程 y ′ = ( 2 − y ) y {displaystyle y’=left(2-yright)y} 是自治的，因为自变量 ( x {displaystyle x} ) 不 明确地出现在等式中。 要绘制此方程的斜率场和等倾线，可以在 GNU Octave/MATLAB 中使用以下代码

Ffun = @(X, Y)(2 – Y) .* Y; % function f(x,y)=(2-y)y[X, Y] = meshgrid(0:.2:6, -1:.2:3); % 选择地块大小 DY = Ffun(X, Y); DX = 一个（尺寸（DY））； % 生成绘图值 quiver(X, Y, DX, DY, ‘k’); % 在 blackhold 上绘制方向场；contour(X, Y, DY, [0 1 2], ‘g’); % 在 greentitle(‘Slope field and isoclines for f(x,y)=(2-y)y’) 中添加等倾线（0 1 2）

从图中可以看出，函数 ( 2 − y ) y {displaystyle left(2-yright)y} 是 x {displaystyle x} -不变的，因此是形状 解，即 y ( x ) = y ( x − x 0 ) {displaystyle y(x)=y(x-x_{0})} 对于任何偏移 x 0 {displaystyle x_{0}} 。

通过运行在 MATLAB 中以符号方式求解方程

syms y(x);equation = (diff(y) == (2 – y) * y);% symbolyly_general = dsolve(equation);

获得两个平衡解， y = 0 {displaystyle y=0} 和 y = 2 {displaystyle y=2} ，第三个解涉及未知常数 C 3 {displaystyle C_{3}} ,- 2 / (exp(C3 – 2 * x) – 1)。

可以使用相空间对自治系统进行定性分析； 在单变量情况下，这是相线。

以下技术适用于一维自治微分方程。 任何 n {displaystyle n} 阶的一维方程等同于 n {displaystyle n} 维一阶系统（如简化为一阶系统中所述），但反之则不一定。

一阶自治方程 d x d t = f ( x ) {displaystyle {frac {dx}{dt}}=f(x)} 是可分离的，因此可以通过将其重新排列为积分来求解。