变分法基本引理

在数学中，特别是在变分法中，函数 f 的变化 δf 可以集中在任意小的区间上，但不能集中在一个点上。据此，极值的必要条件（函数导数等于零）出现在一个弱公式中 （变分形式）与任意函数 δf 结合。 变分法的基本引理通常用于将这种弱公式转换为强公式（微分方程），无需与任意函数进行积分。 证明通常利用选择 δf 集中在 f 保持符号（正或负）的区间上的可能性。 引理的几个版本正在使用中。 基本版本很容易制定和证明。 需要时使用更强大的版本。

如果开区间 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 上的连续函数 f {\displaystyle f} 满足等式

∫ a b f ( x ) h ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{a}{b}f(x)h(x)\,\mathrm {d} x=0}对于所有紧凑 在 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 上支持的平滑函数 h {\displaystyle h} ，则 f {\displaystyle f} 同样为零。

这里的 smooth 可能被解释为无限可微，但通常被解释为两次连续可微或连续可微甚至只是连续的，因为这些较弱的陈述对于给定的任务可能足够强大。 对于某些 c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} ，紧凑支持意味着在 [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} 之外消失，使得 a < c < d < b {\displaystyle a<c<d<b} ; 但通常一个较弱的陈述就足够了，假设只 h {\displaystyle h} （或 h {\displaystyle h} 和它的一些衍生物）在端点处消失 a {\displaystyle a} ， b {\displaystyle b}; 在这种情况下，使用闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}。

如果区间 (a,b) 上的一对连续函数 f, g 满足等式

∫ a b ( f ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ′ ( x ) ) d x = 0 {\displaystyle \int _{a}{b}(f(x)\,h(x )+g(x)\,h'(x))\,\mathrm {d} x=0}对于 (a,b) 上的所有紧支持光滑函数 h，则 g 是可微的，并且 g ‘ = f 无处不在。

g = 0 的特殊情况只是基本版本。

这是 f = 0 的特例（通常足够）。

如果区间 (a,b) 上的连续函数 g 满足等式

∫ a b g ( x ) h ′ ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{a}{b}g(x)\,h'(x)\,\mathrm {d} x =0}对于 (a,b) 上的所有平滑函数 h 使得 h ( a ) = h ( b ) = 0 {\displaystyle h(a)=h(b)=0} ，则 g 是常量。

此外，如果假定 g 是连续可微的，则分部积分将这两个陈述简化为基本版本； 这种情况归功于 Joseph-Louis Lagrange，而 g 的可微性证明归功于 Paul du Bois-Reymond。

给定函数 (f, g) 可能是不连续的，前提是它们是局部可积的（在给定区间内）。 在这种情况下，意味着勒贝格积分，结论几乎处处成立（因此，在所有连续点），g 的可微性被解释为局部xxx连续性（而不是连续可微性）。 有时给定的函数被假定为分段连续的，在这种情况下黎曼积分就足够了，并且除了有限的不连续点集之外的任何地方都陈述了结论。

如果区间 (a,b) 上的连续函数 f 0 , f 1 , … , f n {\displaystyle f_{0},f_{1},\dots ,f_{n}} 的元组满足等式

∫ a b ( f 0 ( x ) h ( x ) + f 1 ( x ) h ′ ( x ) +⋯ + f n ( x ) h ( n ) ( x ) ) d x = 0 {\displaystyle \int _{ a}{b}(f_{0}(x)\,h(x)+f_{1}(x)\,h'(x)+\点 +f_{n}(x) ,h{(n)}(x))\,\mathrm {d} x=0}

对于 (a,b) 上的所有紧支持光滑函数 h，则存在连续可微函数 u 0 , u 1 , … , u n − 1 {\displaystyle u_{0},u_{1},\dots ,u_ {n-1}} 在 (a,b) 上使得

f 0 = u 0 ′ , f 1 = u 0 + u 1 ′ , f 2 = u 1 + u 2 ′ ⋮ f n − 1 = u n − 2 + u n − 1 ′ , f n = u n − 1 {\displaystyle { \begin{aligned}f_{0}&=u’_{0},\\f_{1}&=u_{0}+u’_{1},\\f_ {2}&=u_{1}+u’_{2}\\\vdots \\f_{n-1}&=u_{n-2}+u’_{ n-1},\\f_{n}&=u_{n-1}\end{aligned}}}无处不在。

这个必要条件也是充分的，因为被积函数变为 ( u 0 h ) ′ + ( u 1 h ′ ) ′ +⋯ + ( u n − 1 h ( n − 1 ) ) ′ 。 {\displaystyle (u_{0}h)’+(u_{1}h’)’+\dots +(u_{n-1}h{(n-1)})’.}

n = 1 的情况只是两个给定函数的版本，因为 f = f 0 = u 0 ′ {\displaystyle f=f_{0}=u’_{0}} 和 f 1 = u 0 , { \displaystyle f_{1}=u_{0},} 因此，f 0 − f 1 ′ = 0。{\displaystyle f_{0}-f’_{1}=0。}

相反，情况 n=2 不会导致关系 f 0 − f 1 ′ + f 2 ″ = 0 , {\displaystyle f_{0}-f’_{1}+f”_ {2}=0,} si。