拉普拉斯-龙格-楞次矢量

在经典力学中，拉普拉斯-龙格-楞次 (LRL) 矢量是一种矢量，主要用于描述一个天体围绕另一个天体运行的轨道的形状和方向，例如双星或围绕恒星旋转的行星。 对于牛顿引力相互作用的两个物体，LRL矢量是一个运动常数，也就是说无论在轨道上的哪个位置计算都是一样的； 等效地，LRL 向量被认为是守恒的。 更一般地说，LRL 向量在所有问题中都是守恒的，在这些问题中，两个物体通过中心力相互作用，中心力随着它们之间距离的平方反比而变化； 此类问题称为开普勒问题。

氢原子是一个开普勒问题，因为它包含两个带电粒子，它们根据库仑静电定律（另一个平方反比中心力）相互作用。 在薛定谔方程发展之前，LRL 向量在氢原子光谱的xxx次量子力学推导中是必不可少的。 然而，这种方法今天很少使用。

在经典力学和量子力学中，守恒量通常对应于系统的对称性。 LRL 向量的守恒对应于不寻常的对称性； 开普勒问题在数学上等同于一个在四维（超）球体表面自由运动的粒子，因此整个问题在四维空间的特定旋转下是对称的。 这种更高的对称性源于开普勒问题的两个性质：速度矢量总是在一个完美的圆中移动，并且对于给定的总能量，所有这些速度圆都在相同的两个点上相互相交。

拉普拉斯-龙格-楞次矢量以皮埃尔-西蒙德拉普拉斯、卡尔龙格和威廉楞次的名字命名。 它也被称为拉普拉斯矢量、龙格-楞次矢量和楞次矢量。 具有讽刺意味的是，这些科学家都没有发现它。 LRL 向量已被重新发现并重新制定多次； 比如相当于天体力学的无量纲偏心矢量。 已经定义了 LRL 矢量的各种概括，其中结合了狭义相对论、电磁场甚至不同类型的中心力的影响。

在任何保守的中心力作用下运动的单个粒子至少有四个运动常数：总能量 E 和角动量矢量 L 相对于力中心的三个笛卡尔分量。 粒子的轨道被限制在由粒子的初始动量 p（或等效地，它的速度 v）和粒子与力中心之间的矢量 r 定义的平面内（见图 1）。 该运动平面垂直于恒定角动量矢量 L = r × p； 这可以用向量点积方程 r ⋅ L = 0 在数学上表示。鉴于下面的数学定义，拉普拉斯-龙格-楞次矢量（LRL 向量）A 始终垂直于恒定角动量向量 L 对于所有中心力 (A ⋅ L = 0)。 因此 A 总是位于运动平面上。 如下图，A点从力心到运动的近拱点，最接近点，其长度与轨道偏心率成正比。

LRL 矢量 A 在长度和方向上是恒定的，但仅适用于平方反比中心力。 对于其他中心力，矢量 A 不是恒定的，而是在长度和方向上都发生变化。 如果中心力近似服从平方反比定律，则矢量A的长度近似恒定，但其方向缓慢旋转。 广义守恒 LRL 向量 A {displaystyle {mathcal {A}}} 可以为所有中心力定义，但这个广义向量是位置的复杂函数，通常不能用封闭形式表示。

LRL 向量在以下属性中不同于其他守恒量。

而对于典型的守恒量，在系统的三维拉格朗日量中有相应的循环坐标，而LRL向量则不存在这样的循环坐标。 因此，必须直接导出 LRL 向量的守恒，例如，通过泊松括号的方法，如下所述。 与通常的几何守恒定律（例如角动量守恒定律）相反，这种守恒量称为动态守恒量。

LRL 向量 A 是开普勒问题的运动常数，可用于描述天文轨道，例如行星和双星的运动。 尽管如此，它在物理学家中从未广为人知，可能是因为它不如动量和角动量直观。 因此，在过去的三个世纪里，它已被独立地重新发现了数次。