开普勒问题
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开普勒问题
在经典力学中，开普勒问题是双体问题的一个特例，其中两个物体通过中心力 F 相互作用，中心力 F 的强度随它们之间距离 r 的平方反比而变化。 这种力可能是吸引性的，也可能是排斥性的。 问题是在给定质量、位置和速度的情况下，找出两个物体随时间的位置或速度。 使用经典力学，该解可以表示为使用六个轨道元素的开普勒轨道。
开普勒问题是以约翰内斯·开普勒的名字命名的，他提出了开普勒行星运动定律（这是经典力学的一部分，解决了行星轨道问题）并研究了导致轨道运动的力的类型 遵守这些定律（称为开普勒逆问题）。
有关特定于径向轨道的开普勒问题的讨论，请参阅径向轨迹。 广义相对论为二体问题提供了更准确的解决方案，尤其是在强引力场中。
应用
开普勒问题出现在许多情况下，有些超出了开普勒本人研究的物理学范围。 开普勒问题在天体力学中很重要，因为牛顿引力服从平方反比定律。 示例包括围绕行星运行的卫星、围绕其太阳运行的行星或彼此相关的两颗双星。 开普勒问题在两个带电粒子的运动中也很重要，因为库仑静电定律也遵循平方反比定律。 例子包括氢原子、正电子和μ子，它们都作为模型系统发挥了重要作用，用于测试物理理论和测量自然常数。
开普勒问题和简谐振子问题是经典力学中最基本的两个问题。 它们是仅有的两个对于每组可能的初始条件都有闭合轨道的问题，即以相同的速度返回到它们的起点（伯特兰定理）。 开普勒问题经常被用来开发经典力学的新方法，例如拉格朗日力学、哈密顿力学、哈密顿-雅可比方程和作用角坐标。 开普勒问题还保留了 Laplace-Runge-Lenz 向量，该向量已被推广到包括其他相互作用。 开普勒问题的解决让科学家们证明了行星运动可以完全用经典力学和牛顿万有引力定律来解释； 对行星运动的科学解释在开启启蒙运动中发挥了重要作用。
数学定义
两个物体之间的中心力 F 的强度随它们之间距离 r 的平方反比而变化：
F = k r 2 r ^
其中 k 是常数， r ^ 表示沿它们之间直线的单位向量。 该力可以是吸引性的(k＜0)或排斥性的(k＞0)。 相应的标量势是：
V ( r ) = k r
开普勒问题的解决方案
质量为 m {displaystyle m} 的粒子在中心势 V ( r ) {displaystyle V(r)} 中运动的半径 r {displaystyle r} 的运动方程由拉格朗日’给出 方程式
例如，对于圆形轨道，左侧xxx项为零，施加的向内力 d V d r 等于向心力要求 m r ω 2 ，正如预期的那样。
如果 L 不为零，角动量的定义允许自变量从 t