阿贝正弦条件

阿贝正带条是镜头或其他光学系统必须满足的条件，才能产生离轴和同轴物体的清晰图像。 它是由 Ernst Abbe 在显微镜的背景下制定的。

阿贝正弦条说的是

对象空间角度的正弦 α o {textstyle alpha _{o}} 应该与图像空间角度的正弦成正比 α i {textstyle alpha _{i}}

此外，该比率等于系统的放大倍数。

任意两条光线离开光轴时的角度（相对于光轴） 对象和 ( α i , β i ) {textstyle (alpha _{i},beta _{i})} 是相同光线到达图像平面（例如，胶片 相机的平面）。 例如， ( α o , α i ) {textstyle alpha _{o},alpha _{i})} 可能表示近轴光线（即几乎平行于光轴的光线），并且 ( β o , β i ) {textstyle (beta _{o},beta _{i})} 可能表示边缘光线（即系统孔径允许的xxx角度的光线）。 据说对所有光线都适用的光学成像系统服从阿贝正弦条。

利用傅里叶光学的框架，我们可以很容易地解释阿贝正带条件的意义。 假设光学系统物平面中的物体具有形式为 T(xo,yo) 的透射率函数。 我们可以用傅里叶变换来表示这个透射率函数

现在，为简单起见，假设系统没有图像失真，因此图像平面坐标通过以下关系与物体平面坐标线性相关

其中 M 是系统放大倍率。 上面的物体平面透射率现在可以以稍微修改的形式重写

其中各项的指数简单地乘以和除以 M，即系统放大率。 现在，可以根据物体平面坐标用上面的方程代替图像平面坐标

在这一点上，可以提出另一个坐标变换（即阿贝正弦条），将物平面波数谱与像平面波数谱相关联为

根据图像平面坐标和图像平面波数获得图像平面场的最终方程

从傅里叶光学可知，波数可以用球面坐标系表示为

如果考虑 φ = 0 {displaystyle varphi =0} 的光谱分量，则物体和图像平面波数之间的坐标变换采用以下形式

这是阿贝正弦条的另一种写法，它简单地反映了傅里叶变换对的经典不确定性原理，即随着任何函数的空间范围扩大（放大倍数，M），光谱范围缩小 相同的因子 M，因此空间带宽积保持不变。