重言1形式

在数学中，重言式单形式是定义在流形 Q 的余切丛 T ∗ Q {displaystyle T{*}Q} 上的特殊 1-形式。 {displaystyle Q.} 在物理学中，它用于建立机械系统中一点的速度与其动量之间的对应关系，从而在拉格朗日力学与哈密顿力学（在流形 Q {displaystyle 问}）。

这种形式的外导数定义了一个辛形式，给出了 T ∗ Q {displaystyle T{*}Q} 辛流形的结构。 同义反复的单形式在联系哈密顿力学和拉格朗日力学的形式主义方面起着重要作用。 重言式单形式有时也称为刘维尔单形式、庞加莱单形式、规范单形式或辛势。 一个类似的对象是切束上的规范向量场。

要定义重言式单形式，请在 T ∗ Q {displaystyle T{*}Q} 上选择坐标图 U {displaystyle U} 和 U 上的正则坐标系。 {displaystyle U.} 选择一个任意点 m ∈ T ∗ Q 。 {displaystyle min T{*}Q.} 根据余切束的定义，m = ( q , p ) , {displaystyle m=(q,p),} 其中 q ∈ Q {displaystyle qin Q} 和 p ∈ T q ∗ Q 。 {displaystyle pin T_{q}{*}Q.} 同义反复形式 θ m : T m T ∗ Q → R {displaystyle theta _{m}:T_{m}T {*}Qto mathbb {R} } 由 θ m = ∑ i = 1 n p i d q i 给出，{displaystyle theta _{m}=sum _{i=1}{n} p_{i}dq{i},} n = dim ⁡ Q {displaystyle n=mathop {text{dim}} Q} 和 ( p 1 , … , p n ) ∈ U ⊆ R n { displaystyle (p_{1},ldots ,p_{n})in Usubseteq mathbb {R} {n}} 是 p 的坐标表示。 {displaystyle p.}

T ∗ Q {displaystyle T{*}Q} 上任何保留此定义的坐标，直到全微分（精确形式），都可以称为规范坐标； 不同正则坐标系之间的变换称为正则变换。

典型的辛形式，也称为庞加莱双形式，由 ω = − d θ = ∑ i d q i ∧ d p i {displaystyle omega =-dtheta =sum _{i}dq{ i}楔形 dp_{i}}

将此概念扩展到一般纤维束称为焊料形式。 按照惯例，只要形式具有xxx的规范定义，就使用短语规范形式，而无论何时必须做出任意选择，都使用术语焊接形式。 在代数几何和复杂几何中，由于与规范类混淆，不鼓励使用术语规范，而首选术语重言式，如重言束。

变量 q i {displaystyle q_{i}} 应被理解为广义坐标，因此点 q ∈ Q {displaystyle qin Q} 是配置空间中的一个点。 切线空间 T Q {displaystyle TQ} 对应于速度，所以如果 q {displaystyle q} 沿着路径 q ( t ) 移动，{displaystyle q(t),} 在 t = 0 {displaystyle t=0} 对应一个点 d q ( t ) d t | t = 0 = q ˙ ∈ T Q {displaystyle left.{frac {dq(t)}{dt}}right|_{t=0}={dot {q}} in TQ} 在切线流形 T Q 上，{displaystyle TQ,} 对于系统在点 q ∈ Q 的给定位置。 {displaystyle qin Q.} 速度适用于经典力学的拉格朗日公式，但在哈密顿公式中，一个人使用动量，而不是速度； 同义反复的形式是一种将速度转换为动量的装置。

也就是说，同义反复的一种形式为每个速度 q ˙ 、 {displaystyle {dot {q}},} 和更多的动量 p {displaystyle p} 分配一个数值：它这样做使得 它们指向相同的方向，并且呈线性，因此幅度按比例增长。 它之所以被称为同义反复，当然是因为速度和动量必然彼此成正比。 它是一种焊接形式，因为它将每个速度粘合或焊接到相应的动量。 涂胶的选择是xxx的； 根据定义，每个动量矢量仅对应一个速度矢量。 重言式的单一形式可以被认为是一种从拉格朗日力学转换为哈密顿力学的装置。

重言式 1-形式也可以相当抽象地定义为相空间上的一种形式。 设 Q {displaystyle Q} 为流形，M = T ∗ Q {displaystyle M=T{*}Q} 为余切丛或相空间。 令 π : M → Q {displaystyle pi :Mto Q} 为规范纤维束投影，令 d π : T M → T Q {displaystyle mathrm {d} pi :TM to TQ} 是诱导切线图。 设 m {displaystyle m} 是 M 上的一个点。 {displaystyle M.} 由于 M {displaystyle M} 是余切丛，我们可以将 m {displaystyle m} 理解为切空间在 q = π ( m ) {displaystyle q =pi (m)} : m : T q Q → R 。