全微分

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在数学中，函数 f 在一点的全导数是函数在该点附近关于其自变量的最佳线性逼近。 与偏导数不同，全导数对函数的所有参数进行逼近，而不仅仅是一个参数。 在许多情况下，这与同时考虑所有偏导数相同。 当 f 是多个变量的函数时，主要使用术语全导数，因为当 f 是单个变量的函数时，全导数与函数的普通导数相同。

设 U ⊆ R n {displaystyle Usubseteq mathbb {R} {n}} 是一个开子集。 那么函数 f : U → R m {displaystyle f:Uto mathbb {R} {m}} 被认为在点 a ∈ U {displaystyle a 在 U} 中如果存在线性变换 d f a : R n → R m {displaystyle df_{a}:mathbb {R} {n}to mathbb {R} {m}} 这样

lim x → a ‖ f ( x ) − f ( a ) − d f a ( x − a ) ‖ ‖ x − a ‖ = 0. {displaystyle lim _{xto a}{frac { |f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)|}{|x-a|}}=0.}

线性映射 d f a {displaystyle df_{a}} 被称为 f {displaystyle f} 在 {displaystyle a} 处的（全）导数或（全）微分。 全导数的其他符号包括 D a f {displaystyle D_{a}f} 和 D f ( a ) {displaystyle Df(a)} 。 如果函数的全导数存在于其域中的每个点，则该函数是（完全）可微的。

从概念上讲，全导数的定义表达了 d f a {displaystyle df_{a}} 是 f {displaystyle f} 在点 a {displaystyle a} 的最佳线性近似。 这可以通过量化由 d f a {displaystyle df_{a}} 确定的线性近似中的误差来实现。 为此，写

f ( a + h ) = f ( a ) + d f a ( h ) + ε ( h ) , {displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+varepsilon ( H），}

其中 ε ( h ) {displaystyle varepsilon (h)} 等于近似误差。 说 f {displaystyle f} 在 a {displaystyle a} 的导数是 d f a {displaystyle df_{a}} 等价于这个陈述

ε ( h ) = o ( ‖ h ‖ ) , {displaystyle varepsilon (h)=o(lVert hrVert ),}

其中 o {displaystyle o} 是小 o 符号，表示 ε ( h ) {displaystyle varepsilon (h)} 远小于‖ h ‖ {displaystyle lVert hrVert } 作为 h → 0 {displaystyle hto 0} 。 全导数 d f a {displaystyle df_{a}} 是误差项如此小的xxx线性变换，从这个意义上说它是 f {displaystyle f} 的最佳线性逼近。

函数 f {displaystyle f} 是可微的当且仅当它的每个分量 f i : U → R {displaystyle f_{i}colon Uto mathbb {R} } 是可微的，所以 在研究全导数时，通常可以在余域中一次处理一个坐标。 但是，对于域中的坐标则不同。 的确，如果 f {displaystyle f} 在 {displaystyle a} 处可微，则每个偏导数 ∂ f / ∂ x i {displaystyle partial f/partial x_{i}} 存在 在 {displaystyle a} 处。 反之则为假：f {displaystyle f} 在 {displaystyle a} 的所有偏导数都存在，但 f {displaystyle f} 在 {displaystyle a} 不可微 } 。 这意味着该函数在 {displaystyle a} 处非常粗糙，以至于无法通过其在坐标方向上的行为来充分描述其行为。 当 f {displaystyle f} 不是那么粗糙时，这不会发生。 更准确地说，如果 f {displaystyle f} 在 {displaystyle a} 的所有偏导数都存在并且在 a {displaystyle a} 的邻域内是连续的，那么 f {displaystyle f} 是可微的 在 {displaystyle a} 处。 当发生这种情况时，那么另外，f {displaystyle f} 的全导数是对应于该点偏导数的雅可比矩阵的线性变换。

当所考虑的函数是实值时，可以使用微分形式重铸全导数。 例如，假设 f : R n → R {displaystyle fcolon mathbb {R} {n}to mathbb {R} } 是变量 x 1 , … , x n 的可微函数 {displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}} 。 f {displaystyle f} 在 {displaystyle a} 处的全导数可以写成雅可比矩阵。