索末菲恒等式

索末菲恒等式是一个数学恒等式，由于阿诺德索末菲，用于波的传播理论，

e i k R R = ∫ 0 ∞ I 0 ( λ r ) e − μ | z | λ d λ μ

取正实部，以确保积分收敛并在极限 z → ± ∞ 和

R 2 = r 2 + z 2 。

这里，R  是到原点的距离，而 r 是到圆柱中心轴的距离，如 ( r , ϕ , z ) 圆柱坐标系。 这里贝塞尔函数的符号遵循德国惯例，与 Sommerfeld 使用的原始符号一致。 函数 I 0 ( z ) 是xxx类零阶贝塞尔函数，以符号 I 0 ( z ) = J 0 ( i z )。这个恒等式被称为索末菲恒等式。

在替代符号中，索末菲恒等式可以更容易地看作是球面波在圆柱对称波方面的扩展：

e i k 0 r r = i ∫ 0 ∞ d k ρ k ρ k z J 0 ( k ρ ρ ) e i k z | z | ，这里使用的符号与上面的符号不同：r {displaystyle r} 现在是距原点的距离，ρ 是圆柱坐标系中的径向距离，定义为 ( ρ , ϕ , z ) 。

物理解释是球面波可以展开为 ρ方向的柱面波的总和，乘以 z方向的两侧平面波； 必须对所有波数 k ρ求和。

索末菲恒等式与圆柱对称的二维傅立叶变换，即汉克尔变换密切相关。