白金汉π定理
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白金汉π定理
在工程、应用数学和物理学中，白金汉π定理是量纲分析中的一个关键定理。 它是瑞利量纲分析方法的形式化。 粗略地讲，该定理指出，如果存在一个包含一定数量 n 个物理变量的具有物理意义的方程，则可以根据一组 p = n − k 无量纲参数 π1, π2, …, 由原始变量构造的 πp。 （这里 k 是涉及的物理维度的数量；它是作为特定矩阵的秩获得的。）
该定理提供了一种从给定变量或无量纲化计算无量纲参数集的方法，即使方程的形式仍然未知。
白金汉π定理表明物理定律的有效性不依赖于特定的单位系统。 该定理的一个陈述是任何物理定律都可以表示为仅涉及由定律链接的变量的无量纲组合（比率或乘积）的恒等式（例如，压力和体积由波义耳定律链接 – 它们是 成反比）。 如果无量纲组合的值随着单位制的变化而变化，那么方程就不是恒等式，定理也不成立。
历史
π 定理虽然以埃德加·白金汉 (Edgar Buckingham) 的名字命名，但它于 1878 年由法国数学家约瑟夫·贝特朗 (Joseph Bertrand) 首次证明。贝特朗只考虑了电动力学和热传导问题的特例，但他的文章以独特的方式包含了现代数学的所有基本思想 定理的证明，并清楚地表明了定理对物理现象建模的效用。 由于瑞利的工作，使用定理的技术（量纲法）变得广为人知。 π 定理在一般情况下首次应用于管道压降对控制参数的依赖性可能可以追溯到 1892 年，这是一种使用级数展开的启发式证明，可追溯到 1894 年。
π 定理在任意多个量的情况下的形式推广首先由 A. Vaschy 于 1892 年给出，然后在 1911 年（显然是独立地）由 A. Federman 和 D. Riabouchinsky 给出，最后在 1914 年由 Buckingham 再次给出。 正是 Buckingham 的文章引入了符号 π i {displaystyle pi _{i}} 来表示无量纲变量（或参数），这就是定理名称的来源。
声明
更正式地说，可以形成的无量纲项的数量 p {displaystyle p} 等于维矩阵的零，k {displaystyle k} 是等级。 出于实验目的，根据这些无量纲数共享相同描述的不同系统是等效的。
意义
白金汉π定理提供了一种从给定变量计算无量纲参数集的方法，即使方程的形式仍然未知。 然而，无量纲参数的选择并不是xxx的； 白金汉定理只提供了一种生成无量纲参数集的方法，并没有指出最有物理意义的参数。
这些参数重合的两个系统称为相似（与相似三角形一样，它们仅在比例上不同）； 就方程而言，它们是等价的，想要确定方程形式的实验者可以选择最方便的一个。 最重要的是，白金汉定理描述了变量数量与基本维度之间的关系。
证明
为简单起见，假设基本和派生物理单位的空间在实数上形成一个向量空间，以基本单位作为基向量，并与物理相乘。