交换算符

在量子力学中，交换算子 P ^ {displaystyle {hat {P}}} 也称为置换算子，是作用于 Fock 空间中状态的量子力学算子。 交换算子通过切换联合位置量子态描述的任何两个相同粒子上的标签来起作用。 x 1 , x 2 ⟩ {displaystyle left|x_{1},x_{2}rightrangle } 。 由于粒子是相同的，交换对称性的概念要求交换算子是幺正的。

在三维或更高维度中，交换算子可以表示通过绝热过程中粒子的运动对这对粒子的位置进行字面交换，而所有其他粒子保持固定。 这种动议在实践中往往不被执行。 相反，该操作被视为类似于奇偶校验反转或时间反转操作的假设。 考虑这种粒子交换的两个重复操作：

^ 2 | x 1 , x 2 ⟩ = P ^ | x 2 , x 1 ⟩ = | x 1 , x 2 ⟩ {displaystyle {hat {P}}{2}left|x_{1},x_{2}rightrangle ={hat {P}} left|x_{2},x_{1}rightrangle =left|x_{1},x_{2}rightrangle }

因此，P ^ {displaystyle {hat {P}}} 不仅是幺正的，而且还是 1 的运算符平方根，这留下了可能性

^ | x 1 , x 2 ⟩ = ± | x 2 , x 1 ⟩ 。 {displaystyle {hat {P}}left|x_{1},x_{2}rightrangle =pm left|x_{2},x_{1} 右 范围 ,.}

这两个标志都是在自然界中实现的。 满足+1情况的粒子称为玻色子，满足-1情况的粒子称为费米子。 自旋统计定理表明所有具有整数自旋的粒子都是玻色子，而所有具有半整数自旋的粒子都是费米子。

交换算子与哈密顿量通勤，因此是守恒量。 因此，选择状态为交换算子本征态的基总是可能的，通常也是最方便的。 这种状态要么在所有相同玻色子交换下完全对称，要么在系统所有相同费米子交换下完全反对称。 例如，为了对费米子这样做，反对称化器建立了这样一个完全反对称的状态。

在二维中，粒子的绝热交换不一定是可能的。 相反，交换算子的特征值可能是复杂的相位因子（在这种情况下 P ^ {displaystyle {hat {P}}} 不是 Hermitian），这种情况见 anyon。 交换算子在严格的一维系统中没有很好的定义，尽管有一些一维网络的结构可以作为有效的二维系统。

在量子化学的 Hartree–Fock 方法中定义了修改后的交换算子，以估计由上述交换统计产生的交换能量。 在这种方法中，人们通常将能量交换算子定义为：

K ^ j ( x 1 ) f i ( x 1 ) = ϕ j ( x 1 ) ∫ ϕ j ∗ ( x 2 ) f i ( x 2 ) r 12 d x 2 {displaystyle {hat {K}}_{ j}(x_{1})f_{i}(x_{1})=phi _{j}(x_{1})int {{frac {phi _{j}{* }(x_{2})f_{i}(x_{2})}{r_{12}}}mathrm {d} x_{2}}}

其中 K ^ j ( x 1 ) {displaystyle {hat {K}}_{j}(x_{1})} 是单电子交换算子，而 f ( x 1 ) {displaystyle f (x_{1})} , f ( x 2 ) {displaystyle f(x_{2})} 是单电子波函数，由交换算子作为电子位置的函数作用，而 ϕ j ( x 1 ) {displaystyle phi _{j}(x_{1})} 和 ϕ j ( x 2 ) {displaystyle phi _{j}(x_{2})} 是单电子波函数 第 j {displaystyle j} 个电子作为电子位置的函数。 它们的分离表示为 r 12 {displaystyle r_{12}} 。 标签 1 和 2 只是为了符号方便，因为在物理上没有办法跟踪哪个电子是哪个。