控制李亚普诺夫函数

在控制理论中，控制李雅普诺夫函数 (CLF) 是李雅普诺夫函数 V ( x ) {displaystyle V(x)} 到具有控制输入的系统的概念的扩展。 普通的 Lyapunov 函数用于检验动力系统是否 (Lyapunov) 稳定或（更严格地）渐近稳定。 李亚普诺夫稳定性意味着如果系统在某个域 D 中以状态 x ≠ 0 {displaystyle xneq 0} 开始，那么该状态将一直保持在 D 中。 为了渐近稳定，状态也需要收敛到 x = 0 {displaystyle x=0} 。 control-Lyapunov 函数用于测试系统是否渐近稳定，即对于任何状态 x 是否存在控制 u ( x , t ) {displaystyle u(x,t)} 使得系统可以 通过应用控制 u 逐渐进入零状态。

控制-Lyapunov 函数的理论和应用是由 Zvi Artstein 和 Eduardo D. Sontag 在 1980 年代和 90 年xxx发的。

考虑一个具有输入的自主动力系统

(1)

其中 x ∈ R n {displaystyle xin mathbb {R} {n}} 是状态向量，u ∈ R m {displaystyle uin mathbb {R} {m}} 是控制向量。 假设我们的目标是从某个域 D ⊂ R n { displaystyle Dsubset mathbb {R} {n}} 。 不失一般性，假设平衡点为 x ∗ = 0 {displaystyle x_{*}=0}（对于平衡点 x ∗ ≠ 0 {displaystyle x_{*}neq 0} ，它可以是 通过变量的变化翻译成原点）。

最后一个条件是关键条件； 换句话说，对于每个状态 x，我们都可以找到一个控制 u 来降低能量 V。直观地说，如果在每个状态下我们总能找到降低能量的方法，我们最终应该能够将能量渐近地带到 零，即使系统停止。 这是由 Artstein 的定理提出的。

一些结果仅适用于控制仿射系统——即以下形式的控制系统：

定理

E. D. Sontag 表明，对于给定的控制系统，存在连续的 CLF 当且仅当原点是渐近可镇定的。 后来 Francis H. Clarke 表明，每个渐近可控系统都可以通过（通常是不连续的）反馈来稳定。Artstein 证明了动力系统 (2) 具有可微分控制-Lyapunov 函数当且仅当存在正则稳定化时 反馈 u(x)。

通常很难找到给定系统的控制李雅普诺夫函数，但如果找到了，那么反馈稳定性问题就会xxx简化。 对于控制仿射系统 (2)，桑塔格公式（或桑塔格通用公式）给出反馈定律, 在单输入系统 ( m = 1 ) {displaystyle (m=1)} 的特殊情况下，桑塔格的公式写为

对于一般的非线性系统 (1)，输入 u {displaystyle u} 可以通过求解静态非线性规划问题