博苏克－乌拉姆定理

在数学中，博苏克－乌拉姆定理指出，从 n 球面到欧几里德 n 空间的每个连续函数都将一对对映点映射到同一点。 在这里，如果球体上的两个点与球体中心的方向完全相反，则它们被称为对映点。

n = 1 {displaystyle n=1} 的情况可以用地球赤道上总是存在一对温度相同的相对点来说明。 任何圈子都是如此。 这假设温度在空间中连续变化。

n = 2 {displaystyle n=2} 的情况通常表示为在任何时刻，地球表面总是有一对对映点具有相同的温度和相同的气压，假设两个参数 在空间上不断变化。

博苏克－乌拉姆定理在奇函数方面有几个等价的陈述。

以下陈述等同于博苏克－乌拉姆定理。

如果对于每个 x {displaystyle x} : g ( − x ) = − g ( x ) {displaystyle g(-x )=-g(x)} 。

博苏克－乌拉姆定理等价于以下陈述：从n-球面到欧几里德n-空间的连续奇函数有一个零。 证明：

• 如果定理是正确的，那么它对于奇函数是特别正确的，对于奇函数，g ( − x ) = g ( x ) {displaystyle g(-x)=g(x)} iff g ( x ) = 0 {displaystyle g(x)=0} 。 因此，每个奇数连续函数都有一个零。
• 对于每个连续函数 f {displaystyle f} ，以下函数是连续且奇数的： g ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) {displaystyle g(x)=f(x )-f(-x)} 。 如果每个奇数连续函数都有一个零，那么 g {displaystyle g} 也有一个零，因此 f ( x ) = f ( − x ) {displaystyle f(x)=f(-x)} 。 因此定理是正确的。

将回缩定义为函数 h : S n → S n − 1 。 博苏克－乌拉姆定理等价于以下断言：不存在连续的奇数回缩。

证明：如果定理是正确的，那么来自 S n 的每个连续奇函数都必须在其范围内包含 0。 然而， 0 ∉ S n − 1  因此不可能存在范围为 S n − 1 的连续奇函数。

相反，如果它不正确，则存在一个不带零的连续奇函数 g : S n → R n。 然后我们可以构造另一个奇函数 h : S n → S n − 1 通过

因为 g {displaystyle g} 没有零，所以 h {displaystyle h} 是定义明确且连续的。 因此，我们有一个连续的奇数收缩。

使用中间值定理 (IVT) 可以轻松证明一维情况。

设 g {displaystyle g} 是圆上的奇数实值连续函数。 选择一个任意的 x {displaystyle x} 。 如果 g ( x ) = 0 {displaystyle g(x)=0} 那么我们就完成了。