厄农映射

厄农投影，有时称为 Hénon–Pomeau 吸引子/映射，是一个离散时间动力系统。 它是表现出混沌行为的动力系统中研究最多的例子之一。 厄农投影在平面上取一个点 (xn, yn) 并将其映射到一个新点

该地图取决于两个参数 a 和 b，对于经典的厄农投影，其值为 a = 1.4 和 b = 0.3。 对于古典价值观厄农映射是混乱的。 对于 a 和 b 的其他值，地图可能是混乱的、间断的或收敛到周期性轨道。 可以从其轨道图中获得地图在不同参数值下的行为类型的概览。

该地图由 Michel Hénon 引入，作为 Lorenz 模型的 Poincaré 部分的简化模型。 对于经典地图，平面的初始点要么接近一组称为 Hénon 奇异吸引子的点，要么发散到无穷大。 Hénon 吸引子是一个分形，在一个方向上是光滑的，而在另一个方向上是 Cantor 集。 对于经典地图的吸引子，数值估计产生 1.25 ± 0.02 的相关维度和 1.261 ± 0.003 的 Hausdorff 维度。

厄农投影将两个点映射到自身：这些是不变点。 对于厄农映射的 a 和 b 的经典值

这个点是不稳定的。 靠近此固定点且沿斜率 1.924 的点将接近固定点，而沿斜率 -0.156 的点将远离固定点。 这些斜率来自不动点的稳定流形和不稳定流形的线性化。 吸引子中不动点的不稳定流形包含在厄农映射的奇异吸引子中。

对于参数 a 和 b 的所有值，厄农映射没有奇异吸引子。 例如，通过将 b 固定在 0.3，分叉图显示对于 a = 1.25，厄农射具有作为吸引子的稳定周期轨道。

维塔诺维奇等人。 已经展示了如何根据吸引子内不稳定的周期轨道来理解 Hénon 奇异吸引子的结构。

如果绘制多个厄农投影，对于每个改变 b 值的地图，然后将所有地图堆叠在一起，生成一个分叉图。 像炸玉米饼一样折叠的分叉图。 因此，当从顶部以 2D 方式查看时，它的回旋镖形状。

厄农投影可以分解为三个依次作用于域的函数的组合。

厄农投影也可以解构为一维映射，其定义类似于斐波那契数列。

虽然可以在 x 轴和 y 轴上绘制厄农投影，但通过改变 a 和 b，我们可以获得两个额外的绘图维度。 因此，厄农投影可以绘制在四维空间中。 我们可以通过一次查看代表三个轴的一个超平面（即空间的一个立方体），然后随着时间的推移沿着第四个轴移动来可视化这样的图。

在右侧的视频示例中，视频中每个图像的三个轴是 x、y 和 b。 随着时间的流逝，移动通过的是 a 轴。

如果为特殊情况解决一维 Hénon 映射：

此外，如果 a 的形式为 1 c n {displaystyle {1 over c{n}}} 则公式进一步简化为

在实践中，起点 (X,X) 将遵循一个二维的 4 点循环，通过所有象限。