极限集合

在数学中，尤其是在动力系统的研究中，极限集是动力系统在无限量的时间过去后达到的状态，无论是向前还是向后。 极限集合很重要，因为它们可用于了解动态系统的长期行为。

• 固定点
• 周期轨道
• 极限循环
• 吸引子

一般来说，极限集可能非常复杂，就像奇异吸引子的情况一样，但对于二维动力系统，庞加莱-本迪克森定理提供了所有非空、紧凑的 ω -极限集的简单表征 最多包含有限多个固定点作为固定点、周期轨道或固定点的并集以及连接这些固定点的同宿或异宿轨道。

令 X 为度量空间，令 f : X → X  为连续函数。

两个集合都是 f  -不变的，如果 X  是紧致的，那么它们是紧致且非空的。

给定一个真实的动力系统 (T, X, φ)，流量为 φ : R × X → X  ，一个点 x，我们 如果存在序列 ( t n ) n ∈ N 这样

lim n → ∞ t n = ∞。

对于 (T, X, φ) 的轨道 γ，如果 y 是轨道上某点的 ω 极限点，则称 y 是 γ 的 ω 极限点。

类似地，如果在 R 这样

lim n → ∞ t n = − ∞ 。

对于 (T, X, φ) 的轨道 γ，如果 y 是轨道上某点的 α 极限点，则称 y 是 γ 的 α 极限点。

给定轨道 γ 的所有 ω 极限点（α 极限点）的集合称为 γ 的 ω 极限集（α 极限集），记为 limω γ (limα γ)。

如果ω-极限集（α-极限集）与轨道γ不相交，即limω γ ∩ γ = ∅ (limα γ ∩ γ = ∅)，我们称limω γ (limα γ) 为ω-极限环（ α-极限环）。

或者，极限集可以定义为

lim ω γ := ⋂ s ∈ R { φ ( x , t ) : t >; s }

• 对于动力系统的任意周期轨道 γ，limω γ = limα γ = γ
• 对于动力系统的任意不动点 x 0

• 如果 X 是紧致的，则 limω γ 和 limα γ 是非空、紧致且连通的