吴消元法

Wenjun Wu 的方法是中国数学家 Wen-Tsun Wu 在 20 世纪 70 年代后期引入的求解多元多项式方程的算法。 该方法基于 J.F. Ritt 在 20 世纪 40 年代后期引入的特征集的数学概念。 它完全独立于 Bruno Buchberger (1965) 引入的 Gröbner 基方法，即使 Gröbner 基可用于计算特征集。

吴氏方法对初等几何中的力学定理证明具有强大的作用，并为某类问题提供了完整的判定过程。 它已被用于他的实验室（KLMM，中国科学院数学机械化重点实验室）和世界各地的研究。 吴氏方法研究的主要趋势是正维多项式方程组和微分代数，其中Ritt的结果得到了有效应用。 吴的方法已应用于各个科学领域，如生物学、计算机视觉、机器人运动学，尤其是几何学的自动证明。

Wu 的方法使用多项式除法来解决以下形式的问题

其中 f 是多项式方程，I 是多项式方程的合取。 该算法对于复杂域上的此类问题是完整的。

该算法的核心思想是您可以将一个多项式除以另一个多项式得到余数。 重复除法导致余数消失（在这种情况下 I 暗示 f 语句为真），或者留下不可约的余数（在这种情况下语句为假）。

更具体地说，对于域k上的环k[x1, …, xn]中的理想I，I的（Ritt）特征集C由I中的一组多项式组成，呈三角形： C 中的多项式具有不同的主变量（请参阅下面的正式定义）。 给定 I 的特征集 C，可以确定多项式 f 是否为零模 I。也就是说，如果提供 I 的特征集，则可以检查 I 的隶属度测试。

Ritt 特征集是理想的三角形式的多项式的有限集。 这个三角形集满足关于 Ritt 排序的特定最小条件，并且它保留了理想的许多有趣的几何特性。 然而，它可能不是它的发电机系统。

令 R 为域 k 上的多元多项式环 k[x1, …, xn]。变量根据其下标线性排序：x1 <; … < xn.对于R中的一个非常量多项式p，有效呈现在p中的xxx变量，称为主变量或类，起着特殊的作用：p可以自然地看作是一个单变量多项式，其主变量xk，系数在k[ x1, …, xk−1]。p作为一元多项式在其主变量中的次数也称为主次数。

如果 T 中的所有多项式都有不同的主变量，则一组非常数多项式 T 称为三角集。 这以自然的方式推广了线性方程组的三角系统。

对于两个非常量多项式 p 和 q，如果以下断言之一成立，我们说 p 在 Ritt 排序方面小于 q 并写为 p < r q：

(1) p的主变量小于q的主变量，即mvar(p) <; mvar(q),(2) p和q有相同的主变量，p的主度小于q的主度，即mvar(p)=mvar(q)和mdeg(p)&lt ; 度数（q）。

这样，(k[x1, …, xn],<r) 形成了一个很好的偏序。 然而，里特序不是全序：存在多项式 p 和 q，使得 p r q 均不成立。 在这种情况下，我们说 p 和 q 不可比。里特排序就是比较 p 和 q 的秩。 非常数多项式 p 的秩，用秩 (p) 表示，定义为其主变量的幂：mvar(p)mdeg(p) 变量的相等性，程度。

Ritt 排序的一个重要概括是比较三角集合。令 T = { t1, …, tu} 和 S = { s1, …, sv} 是两个三角集合，使得 T 和 S 中的多项式按照递增排序 到他们的主要变量。我们说 T 小于 S w.r.t. 如果以下断言之一成立

此外，存在无与伦比的三角集 w.r.t Ritt 排序。

设 I 是 k[x1, …, xn] 的非零理想。 I 的子集 T 是 I 的 Ritt 特征集。