Risch算法

在符号计算中，Risch 算法是一种在某些计算机代数系统中用于寻找反导数的不定积分方法。

该算法将积分问题转化为代数问题。 它基于被积分函数的形式以及积分有理函数、根式、对数和指数函数的方法。 Risch 将其称为决策程序，因为它是一种确定函数是否具有初等函数作为不定积分的方法，如果有，则确定该不定积分。 然而，该算法并不总是能成功地识别给定函数的反导数实际上是否可以用初等函数来表示。

Risch 算法的完整描述超过 100 页。 Risch–Norman 算法是一种更简单、更快但功能较弱的变体，由 Arthur Norman 于 1976 年开发。

Brian L. Miller 在计算混合超越代数积分的对数部分方面取得了一些重大进展。

Risch 算法用于集成初等函数。 这些是通过组合指数、对数、根、三角函数和四个算术运算 (+ − × ÷) 获得的函数。

Risch 开发了一种方法，允许人们只考虑一组有限的 Liouville 形式的函数。

Risch 算法的直觉来自指数函数和对数函数在微分下的行为。 例如，对于函数 f，其中 f 和 g 是可微函数

所以如果 eg 是不定积分的结果，它应该在积分内。

那么如果 (ln g)n 是积分的结果，那么应该只期望几个对数的幂。

寻找基本反导数对细节非常敏感。 例如，以下代数函数（由 Henri Cohen 于 1993 年发布到 sci.math.symbolic）具有初等反导数

但是，如果将常数项 71 更改为 72，则无法用初等函数表示反导数，正如 FriCAS 也显示的那样。 一些计算机代数系统可能会根据非初等函数（即椭圆积分）返回反导数，这超出了 Risch 算法的范围。