梅森增益公式

梅森增益公式 (MGF) 是一种寻找线性信号流图 (SFG) 的传递函数的方法。 MGF 是另一种方法，通过标记每个信号，写下该信号如何依赖于其他信号的方程，然后根据输入信号求解输出信号的多个方程，以代数方式找到传递函数。 MGF 提供了一种从 SFG 获得传递函数的逐步方法。 通常，MGF 可以通过检查 SFG 来确定。 该方法可以轻松处理具有许多变量和循环（包括具有内部循环的循环）的 SFG。 MGF 经常出现在控制系统、微波电路和数字滤波器的上下文中，因为这些通常由 SFG 表示。

Δ = 图形的行列式。

• yin = 输入节点变量
• yout = 输出节点变量
• G = yin 和 yout 之间的完全增益
• N = yin 和 yout 之间的前向路径总数
• Gk = yin 和 yout 之间第 k 条前向路径的路径增益
• Li = 系统中每个闭环的环路增益
• LiLj = 任意两个非接触回路（无公共节点）的回路增益的乘积
• LiLjLk = 任意三个成对非接触环路的环路增益的乘积
• Δk = 第 k 条前向路径的 Δ 的余因子值，删除了与第 k 条前向路径接触的环路。 *

• 路径：一组连续的分支，沿它们指示的方向遍历。
• 前向路径：从输入节点到输出节点的路径，其中没有节点被触及超过一次。
• 循环：在同一节点上开始和结束的路径，其中没有节点被触及超过一次。
• 路径增益：路径中所有分支增益的乘积。
• 回路增益：回路中所有分支增益的乘积。

• 列出所有前向路径及其增益，并标记这些 Gk。
• 列出所有循环及其收益，并标记这些 Li（for i 循环）。 列出所有非接触循环对及其增益 (LiLj) 的乘积。 列出所有成对的非接触循环，一次取三个 (LiLjLk)，然后一次取四个，依此类推，直到没有更多。
• 计算行列式 Δ 和辅助因子 Δk。
• 应用公式。

需要从 Vin 到 V2 的传递函数。

只有一条前向路径：

• Vin 到 V1 到 I2 到 V2，增益 G 1 = − y 21 R L {displaystyle G_{1}=-y_{21}R_{L},}

一共有三个循环：

• V1 到 I1 到 V1，增益 L 1 = − R in
• V2 到 I2 到 V2，增益 L 2 = − R L

数字滤波器通常用信号流图表示。

有两个循环

• L 1 = − a 1 Z − 1 {displaystyle L_{1}=-a_{1}Z{-1},}
• L 2 = − a 2 Z − 2 {displaystyle L_{2}=-a_{2}Z{-2},}

Δ = 1 − ( L 1 + L 2 ) {displaystyle Delta =1-(L_{1}+L_{2}),} 注意，这两个环相接触，所以它们的乘积没有项 .

存在三个前进路径

• G 0 = b 0 {displaystyle G_{0}=b_{0},}
• G 1 = b 1 Z − 1 {displaystyle G_{1}=b_{1}Z{-1},}
• G 2 = b 2 Z − 2 {displaystyle G_{2}=b_{2}Z{-2},}

所有前向路径都接触所有循环