奇异控制

在最优控制中，奇异控制问题是难以解决的问题，因为直接应用 Pontryagin 的最小值原理无法产生完整的解决方案。 只有少数此类问题得到解决，例如金融经济学中的 Merton 投资组合问题或航空学中的轨迹优化。 下面是更技术性的解释。

当哈密顿量线性依赖于控制 u {displaystyle u} 时，应用 Pontryagin 原理最常见的困难出现

当 ϕ {displaystyle phi } 在有限的时间长度 t 1 ≤ t ≤ t 2 {displaystyle t_{1}leq tleq t_{2}} 内保持为零的情况被称为 单一控制案例。 在 t 1 {displaystyle t_{1}} 和 t 2 {displaystyle t_{2}} 之间，关于 u {displaystyle u} 的哈密顿量的最大化没有给我们提供有用的信息和解决方案 必须从其他考虑因素中找到间隔。 （一种方法是根据时间重复微分 ∂ H / ∂ u {displaystyle partial H/partial u} 直到控制 u 再次明确出现，尽管这不能保证最终会发生。可以 然后将该表达式设置为零并求解 u。

这相当于说在 t 1 {displaystyle t_{1}} 和 t 2 {displaystyle t_{2}} 之间控制 u {displaystyle u} 是 由奇点条件继续成立的要求决定的。由此产生的所谓奇异弧，如果是最优的，将满足凯莱条件

其他人将此条件称为广义 Legendre-Clebsch 条件。

术语 bang-singular 控件是指具有 bang-bang 部分和单数部分的控件。