乔丹–维格纳变换

乔丹-维格纳变换是一种将自旋算子映射到费米子产生和湮灭算子的变换。 它是由 Pascual Jordan 和 Eugene Wigner 为一维格子模型提出的，但现在也创建了变换的二维模拟。 乔丹-维格纳变换通常用于通过将自旋算子转换为费米子算子然后在费米子基上对角化来精确求解一维自旋链，例如 Ising 和 XY 模型。

这种转变实际上表明，自旋 1/2 粒子和费米子之间的区别是不存在的。 它可以应用于具有任意维度的系统。

在下文中，我们将展示如何将自旋 1/2 粒子的一维自旋链映射到费米子。

采取作用于一维链的站点 j {displaystyle j} 的自旋 1/2 泡利算子

现在，我们有了正确的同位费米子关系 { f j † , f j } = I {displaystyle {f_{j}{dagger },f_{j}}=I} ； 然而，在不同的网站上，我们有关系 [ f j † , f k ] = 0 {displaystyle [f_{j}{dagger },f_{k}]=0} ，其中 j ≠ k {displaystyle jneq k} ，因此不同站点上的自旋通勤不同于反通勤的费米子。 在我们认真对待这个类比之前，我们必须解决这个问题。

Jordan 和 Wigner 于 1928 年进行了一次从自旋算子恢复真实费米子对换关系的变换。 这是克莱因变换的一个特例。

它们与上述仅相差一个相位 e ± i π ∑ k = 1 j − 1 f k † f k {displaystyle e{pm ipi sum _{k=1}{j-1} f_{k}{匕首}f_{k}}}。 相位由场的模式 k = 1 , … , j − 1 {displaystyle k=1,ldots ,j-1} 中占据的费米子模式的数量决定。 如果占用模式数为偶数，相位等于 + 1 {displaystyle +1}，如果占用模式数为奇数，则相位等于 − 1 {displaystyle -1}。

请注意，费米子算子的定义相对于玻色子算子是非局部的，因为我们必须处理费米子算子定义所依据的站点左侧的整个算子链。 反过来也是如此。 这是一个 ‘t Hooft 循环的例子，它是一个无序运算符而不是有序运算符。 这也是 S-对偶的一个例子。

如果系统不止一维，仍然可以应用转换。 只需要通过单个索引以任意方式标记站点。

乔丹-维格纳变换可以被反转以将费米子哈密顿量映射到自旋哈密顿量。