拉萨尔不变集原理

拉萨尔不变集原理（也称为不变性原理、Barbashin-Krasovskii-LaSalle 原理或 Krasovskii-LaSalle 原理）是自治（可能是非线性的）动力系统渐近稳定性的准则。

假设一个系统表示为

x ˙ = f ( x ) {displaystyle {dot {mathbf {x} }}=fleft(mathbf {x} right)}

其中 x {displaystyle mathbf {x} } 是变量向量，其中

f ( 0 ) = 0 。 {displaystyle fleft(mathbf {0} right)=mathbf {0} .}

如果可以找到 C 1 {displaystyle C{1}}（参见平滑度）函数 V ( x ) {displaystyle V(mathbf {x} )} 使得

V ˙ ( x ) ≤ 0 {displaystyle {dot {V}}(mathbf {x} )leq 0} 对于所有 x {displaystyle mathbf {x} }（负半定）

那么原点是全局渐近稳定的。

除了轨迹 x ( t ) = 0 , t ≥ 0 {displaystyle mathbf {x} (t)=mathbf {0} ,tgeq 0} 之外不包含系统的任何轨迹，则 不变性原理的局部版本表明原点是局部渐近稳定的。

如果 V ˙ ( x ) {displaystyle {dot {V}}(mathbf {x} )} 是负定的，那么原点的全局渐近稳定性是李雅普诺夫第二定理的结果。 当 V ˙ ( x ) {displaystyle {dot {V}}(mathbf {x} )} 仅是负半定时，不变性原理给出了渐近稳定性的标准。

示例取自。

考虑向量场 ( x ˙ , y ˙ ) = ( − y − x 3 , x 5 ) {displaystyle ({dot {x}},{dot {y}})=(-y-x{ 3},x{5})}在平面上。 函数 V ( x , y ) = x 6 + 3 y 2 {displaystyle V(x,y)=x{6}+3y{2}} 满足 V ˙ = − 6 x 8 {displaystyle { dot {V}}=-6x{8}} ，并且是径向无界的，表明原点是全局渐近稳定的。

本节将应用不变性原理来建立一个简单系统的局部渐近稳定性，即具有摩擦力的摆。 这个系统可以用微分方程[1]建模

m l θ ¨ = − m g sin ⁡ θ − k l θ ˙ {displaystyle ml{ddot {theta }}=-mgsin theta -kl{dot {theta }}}

其中 θ {displaystyle theta } 是摆与垂直法线的夹角，m {displaystyle m} 是摆的质量，l {displaystyle l} 是摆的长度，k {displaystyle k} 是摩擦系数，g 是重力加速度。

使用不变性原理，可以证明所有以一定大小的球为起点围绕原点 x 1 = x 2 = 0 {displaystyle x_{1}=x_{2}=0} 渐近收敛到 起源。