概周期函数

在数学中，粗略地说，近似周期函数是一个实数的函数，它在任何所需的精度水平内具有周期性，给定适当长且分布良好的近似周期。 还有局部紧阿贝尔群上的近周期函数的概念，首先由约翰·冯·诺依曼研究。

几乎周期性是动力系统的一个属性，它们似乎通过相空间追溯它们的路径，但不完全是。 一个例子是行星系统，轨道上的行星以不可公度的周期运动（即周期矢量与整数矢量不成比例）。 丢番图近似的 Kronecker 定理可用于表明任何特定配置发生一次，将在任何指定精度内重复出现：如果我们等待足够长的时间，我们可以观察到所有行星都在一弧秒内返回到它们所在的位置 曾经在。

几乎周期函数有几个不等价的定义。 xxx个是由 Harald Bohr 给出的。 他最初的兴趣是有限狄利克雷级数。 事实上，通过截断黎曼 zeta 函数 ζ(s) 的级数使其有限，可以得到类型项的有限和

e ( σ + i t ) log ⁡ n {displaystyle e{(sigma +it)log n},}

s 写为 (σ + it) – 它的实部 σ 和虚部 it 之和。 固定 σ，因此将注意力限制在复平面中的一条垂直线上，我们也可以将其视为

n σ e ( log ⁡ n ) i t 。 {displaystyle n{sigma }e{(log n)it}.,}

取这些项的有限和避免了分析延拓到区域 σ < 的困难。 1. 这里的“频率”log n 并非都是可公度的（它们在有理数上是线性独立的，就像整数 n 是乘法独立的一样——这归结为它们的质因数分解）。

出于考虑具有独立频率的三角多项式类型的最初动机，应用数学分析来讨论这组基本函数在各种规范中的闭包。

Bohr (1925) 将一致准周期函数定义为三角多项式关于一致范数的闭包

‖ f ‖ ∞ = sup x | f ( x ) | {displaystyle |f|_{infty }=sup _{x}|f(x)|}

（关于 R 上的有界函数 f）。 换句话说，如果对于每个 ε > 1，函数 f 几乎是一致周期性的。 0 存在正弦波和余弦波的有限线性组合，相对于统一范数，其距 f 的距离小于 ε。 玻尔证明这个定义等价于存在一组相对密集的 ε 几乎周期，对于所有 ε > ; 0：即变量 t 的平移 T(ε) = T

如果 f 的每个平移序列 {ƒ(t + Tn)} 都有一个子序列在 (−∞, +∞) 中均匀收敛于 t，则函数 f 几乎是周期性的。

玻尔近周期函数本质上与实数玻尔紧化上的连续函数相同。

Stepanov 的空间 Sp 近周期函数（对于 p ≥ 1）由 V.V. 引入。 斯捷潘诺夫 (1925)。 它包含玻尔空间的近似周期函数。

对于 r 的任何固定正值； 对于不同的 r 值，这些范数给出了相同的拓扑结构，因此具有相同的几乎周期函数的空间（尽管这个空间上的范数取决于 r 的选择）。

它包含 Stepanov 几乎周期函数的空间 Sp。 它是三角多项式在半范数下的闭包

警告：存在非零函数 ƒ 且 ||ƒ||W,p = 0，例如紧支撑的任何有界函数，因此要获得 Banach 空间，必须对这些函数进行商运算。