金兹堡－朗道方程
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金兹堡－朗道方程
在物理学中，金兹堡－朗道方法，常被称为Landau-Ginzburg理论，以Vitaly Ginzburg和Lev Landau的名字命名，是一种用来描述超导性的数学物理理论。 在最初的形式中，它被假定为一种现象学模型，可以在不检查其微观特性的情况下描述 I 型超导体。 一种 GL 型超导体是著名的 YBCO，通常都是铜酸盐。
后来，一个版本的金兹堡－朗道方程由 Lev Gor’kov 的 Bardeen-Cooper-Schrieffer 微观理论推导出来，从而表明它也出现在微观理论的某些极限，并给出了其所有参数的微观解释 . 该理论也可以被赋予一般几何设置，将其置于黎曼几何的背景下，在许多情况下可以给出精确解。 这种一般设置随后扩展到量子场论和弦论，再次归功于它的可解性，以及它与其他类似系统的密切关系。
介绍
基于 Landau 先前建立的二阶相变理论，Ginzburg 和 Landau 认为超导转变附近超导体的自由能 F 可以用复阶参数场 ψ ( r ) 表示 = | ψ ( r ) | e i ϕ ( r ) {displaystyle psi (r)=|psi (r)|e{iphi (r)}} ，其中数量 | ψ ( r ) | 2 {displaystyle |psi (r)|{2}} 是局部密度的量度，类似于量子力学波函数，并且 ψ ( r ) {displaystyle psi (r)} 在下面是非零的 到超导状态的相变，尽管原始论文中没有给出对该参数的直接解释。 假设 | 很小 ψ | {displaystyle |psi |} 及其梯度小，自由能具有场论的形式。
其中 Fn 是正常相的自由能，初始参数中的 α 和 β 被视为唯象参数， m ∗ {displaystyle m{*}} 是有效质量， e ∗ {displaystyle e{*} } 是有效电荷（通常为 2e，其中 e 是电子的电荷），A {displaystyle mathbf {A} } 是磁矢势，B = ∇ × A {displaystyle mathbf {B} =nabla times mathbf {A} } 是磁场。 通过最小化相对于有序参数和矢量势变化的自由能
其中 j 表示无耗散电流密度，Re 表示实部。 xxx个方程——它与时间无关的薛定谔方程有一些相似之处，但由于非线性项而主要不同——确定了阶参数 ψ。 然后第二个方程提供了超导电流。
简单解释
考虑一个没有超导电流的均匀超导体，ψ 的方程式简化为：α ψ + β | ψ | 2 ψ = 0。{displaystyle alpha psi +beta |psi |{2}psi =0。}
该方程有一个平凡的解：ψ＝0。这对应于正常导电状态，即对于高于超导转变温度的温度，T＞1。 Tc。
在超导转变温度以下，上式有望有非平凡解（即 ψ ≠ 0）。 在这个假设下，上面的等式可以重新排列为： | ψ | 2 = − α β 。 {displaystyle |psi |{2}=-{frac {alpha }{beta }}。}
当这个等式的右边是正数时，ψ 有一个非零解（请记住，复数的大小可以是正数或零）。 这可以通过假设以下 α 的温度依赖性来实现：α(T) = α0 (T − Tc) 其中 α0/β >; 0:
- 高于超导转变温度，T > Tc，表达式 α(T) / β 为正，上式右侧为负。 复数的大小必须是非负数，所以只有 ψ = 0 才能求解 Ginzburg–Landau 方程。
- 低于超导转变温度，T <; Tc，上面等式的右边是正的，并且有 ψ 的非平凡解。